§4.1 算符的一般运算规则

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1、§4.1算符的一般运算规则　    重点：             线性算符、厄密算符的定义及物理意义　      算符是指作用在一个函数上得出别一个函数的运算符号。     例如：，则就是一个求微商运算的算符。同理，，等运算符号，也是算符。　 （一） 算符相等  如果算符分别作用于任意一个函数上，得出（4.1-1）       则我们说，算符等于算符，即     （4.1-2）(二)算符相加 如果把算符分别作用于任意一个函数（4.1-3）     则算符是之和：（4.1-4）(三)算符相乘  如果两算符先后作用于任意一个函数（4.1-5） 则说算符等于

2、和乘积：（4.1-6）一般来说，两算符的积不满足交换律，即（4.1-7）   称满足上式的两算符是不可对易的。例如是不可对易的，即       因为把它们分别作用在任一函数上，则有      显然两者的作用结果不相等。在某些情况下，若     （4.1-8）      则称算符是可对易的。例如是可对易的，即     因为对于任一函数，显然有      如果算符满足下列等式（4.1-9）      则称算符是反易对的。还应当注意两点：（1）如果算符对易，对易，则我们一般不能由此得出结论说对易。例如和对易，和对易。但和不对易。（2）两算符相乘不满足对易律，故

3、在相乘时不要随便改变各因子次序(除非可对易)（四）线性算符设是两个任意函数，是两个任意常数，如果算符满足下列等式 （4.1-10）则称为线性算符，例如等是线性算符，而则不是线性算符。因为        (五)算符的本征值与本征函数   如果算符作用于一个函数，结果等于一个常数的乘积：                                                           （4.1-11）   则称为算符的本征值，称为算符的本征函数。方程称为算符的本征值方程。   例如定态薛定谔方程      就是本征值方程的典型的例子，其中是

4、算符的本征函数，能量就是的本征值。 （六）厄密算符   如果对于任意函数，算符满足下列等式（4.1-12a）或写为    （4.1-12b）      则称为厄密算符。厄密算符有一个重要的性质：它的本征值是实数。下面证明这一点：设是厄密算符，以表示它的本征值，表示所属的本征函数，则     令（4.1-12a）式中的两个函数和都等于的本征函数，即取，于是有     由此得到        即是实数。