《算符的运算规则》PPT课件.ppt

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1、量子力学光电子科学与工程学院王可嘉第六讲算符的运算规则厄米算符1第6讲目录一、算符引入的回顾二、力学量在坐标表象下算符的形式三、算符的运算规则四、算符的对易关系五、厄米算符六、例题2一、算符引入的回顾为了在坐标表象中计算动量的平均值:引入了动量算符:从而，动量平均值可以表示为:3二、力学量在坐标表象下算符的形式动能，动能算符其中：动能平均值：角动量，角动量算符角动量平均值：4三、算符的运算规则（1）1、线性算符则称为线性算符，如:2、单位算符则称为单位算符，并记为3、算符相等对算符和,若，则称两个算符相等，记为5三、算符的运算规则（2）4、算符之和5、算符之和的交换律和结合律6三

2、、算符的运算规则（3）6、算符之积一般说来，算符之积不满足交换律，即：由此导致量子力学中的一个基本问题：对易关系7四、算符的对易关系（1）1、对易式简记为：，通常情况：动量算符在坐标表象中：以为例，坐标表象中，，计算2、坐标动量对易关系——最基本对易关系8四、算符的对易关系（2）同理：但是，即：归纳起来，得到：9四、算符的对易关系（3）3、角动量的对易式角动量：，所以角动量算符：在坐标表象中：顺时针：正号逆时针：负号10四、算符的对易关系（4）角动量算符和坐标算符的对易关系11四、算符的对易关系（5）同理可得：同样可证明：12四、算符的对易关系（6）令：,称为角动量平方算符，有：

3、同理证明：即：13四、算符的对易关系（7）4、对易恒等式同理可得：14五、厄米算符（1）1、逆算符已知算符和任意波函数，若存在唯一的，使得，则可将表示为，其中：15五、厄米算符（2）束缚态条件2、转置算符16五、厄米算符（3）3、共轭算符4、厄米共轭17五、厄米算符（4）5、厄米算符18五、厄米算符（5）6、厄米算符的平均值(1)定理：体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符19五、厄米算符（6）6、厄米算符的平均值(2)为什么等都是厄米算符？因为它们都是实验上的可观察量，因此，它们在任何状态下的平均值都应该是实数，因而，它们应该

4、都是厄米算符。推论：厄米算符平方的平均值大于等于零20六、例题(1)例1：设势场为证明阱口刚好出现一个束缚态能级（即）的条件为其中，证明：当时，能量本征值方程为:解得:当时，能量本征值方程为:由束缚态条件,解得:21六、例题(2)当时，能量本征值方程为:由束缚态条件解得:因为阱口刚好出现一个束缚态，即所以所以根据，在和连续，可知：势阱刚好出现束缚态的条件为：22六、例题(3)例2：证明：动量表象当中坐标表象中坐标平均值计算公式为：根据傅立叶变换可得：取复共轭后代入有：23六、例题(4)24下一讲厄米算符的本征值与本征函数角动量的本征值与本征函数25