对▽算符运算规则的分析.pdf

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1、万方数据第26卷2006年第2期5月高师理科学刊Jo啪alofScienceofTe舵hers’CoUege彻dUnive瑙ityV01．26No．2Mav2006文章编号：1007～9831(2006)02-0090_03对V算符运算规则的分析刘晓军1，岳红梅+，卢艳坤2(1．齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔161006；z齐齐哈尔市第15中学，黑龙江齐齐哈尔16l∞5)摘要：通过对V算符运算规则的研究及运用实践，提出适应学生学习需要的新型分析电磁场的方法，培养学生对物理和数学相结合的能力，得出在新形势下电动

2、力学矢量微分教学的数学思路、实施方法和有待解决的问题．关键词：V算符；电磁场；张量中图分类号：0441文献标识码：AV算符又叫矢量微分算符，在电动力学教学中运用广泛，是处理电磁场问题的重要数学手段．但有关V算符运算规则的基本方法和知识在电动力学教材中却讨论得不够详细，高等数学教学中又缺乏和电磁场问题的联系．致使教师教学及学生学习时感到有较多困难．本文就此作一些讨论，希望对实践有一定帮助．1v算符和物理量的张量性质、一个物理公式中，等号2端的每一项必须有相同的张量性质．这一点对判断V算符运算公式的正确性尤为重要．电

3、磁场中的物理量的张量性质和矢量微分运算是描述电磁场的数学语言．标量是零阶张量，矢量是一阶张量，二阶张量常常不讲明阶数，三阶以上的张量应讲明阶数．有时泛指张量，也可以指所有各种阶数的张量．场论专门讨论张量场的微积分，其中梯度算符V使张量的阶数升一阶，例如v妒为一阶张量，盱为张量；散度算符V使张量的阶数降一阶，例如V·7为零阶张量，V．于为一阶张量；旋度算符v×使张量的阶数不升不降，例如：V×于仍为一阶张量，v×于仍为二阶张量．涉及到张量代数时，应注意以下规则：礴={(P．啦=T9厅．云=云．厅，厅×5=一云x厅(1

4、)：一：1·{亭{·1仅当于为对称张量f时，才有：一：1；一f=f-T≮：一：Tx{幸fx1石．云×于：历x云．五：矛．厅×云：⋯即3个矢量的混合积，点叉可以随便打，只要符合厅，云，芒的轮换顺序，否则便差一负号．要特别指出的是，当3个矢量厅，云，石中有一个是V算符时，点叉不能随便打，判定的规则是点叉的位置应使该项的张量

5、生质符合要求，这在后面的具体例子中将详细说明．收稿日期：2006-ol—12作者简介：刘晓军(1972一)．男．黑龙江齐齐啥尔人，副教授，主要从事基础物理教学与研究工作·齐齐哈尔大学2003级学生

6、万方数据第2期刘晓军等：对v算符运算规则的分析9l厅×G×百)=舌G．吞)一于G．云)(2)式(2)左端的厅，云中有一个为V算符时，右端2项的写法要遵从V算符一律往后作用(微分)的规则．在电磁场中，静电势是标量，失势和电磁场强是矢量，四维时空中电磁场是张量，描述这些量的性质和关系的运算就需要V算符和物理量的张量性质．3V算符运算的坐标变换性质在直角坐标系中V算符定义为：V一，昙+弓号+t昙在一般的曲线正交坐标系中，设3个方向的线元分别为厅．比。，厅：幽2，办3幽。，则V妒，V·厂，V×厂，V二p的相应公式分别为1

7、2’：vp：上盟亭，+上盟虿，+土塑瓦向l拟l‘向2抛2‘向3抛3。口芦去I岳咖，工)+云吣t厶)+毒％z厶)i弘夕2去l毒G，六)一毒Gz厶巾+去l毒‰)一毒G，兀)j≯壶I毒G：厶)一毒积-‘)降V证去f毒(等等]+壶(等薏]+毒(警毒]I知道它们在具体坐垮季下的咎元彤式就可以得到具体的表达式，详细可参见文献【2]．毫于V尹，V．瞻)．V×瞻)，V：夕在柱坐标、球坐标中的表达式，可参见文献【3]．可以看到，在柱坐标和球坐标的情况下，V算符的运算规则的形式便不可能像直角坐标中那么简单．在电磁场的问题中，矢量的散

8、度和旋度是完备描述矢量的因素，是建立矢量方程的依据．在实际问题中．不同的坐标系的选取和变换也．．是经常用到的方法．4v算符的公式证明和记忆性质鉴于V算符的矢量性和微分陡，举例如下：V×瞻)=V厂×惦)+V。×惦)=(v×于污+勺；×夕妇=勺×夕培一驴×V培上式推导中，V，，V。分别表示只对矢量厂或矢量g微分．Ⅳ。×7)因为不对厂微分，故V。和夕可以像2个普通矢量叉乘时那样交换顺序，并出现一负号，见式(1)．当V算符的微分对象合适时，V，，V，，的下标便可适时地去掉．上述方法的严格性，在于它既照顾了V算符的矢量性又

9、照顾了V算符的微分性，即遵从微分运算的莱布尼兹法则；上述方法的普适性，在于它不局限于直角坐标系来讨论问题．用上述的方法来证明常见的V算符运算公式，其简捷性一目了然．记忆以下4个式子时，左端的括号可以省略：L厂·V物=厂·V缈扩·V唐=厂·W(3)L厂×V眵=厂×V9L厂×V培=／×W下面证明(3)式，为简明起见，利用爱因斯坦求和约定，式(3)的左端为万方数据92高师理科学