矩阵基本知识课件.ppt

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1、第一章矩阵基本知识基本概念和定义基本运算矩阵的特征方程、特征值和特征向量矩阵的相似变换二次型概念矩阵的微分和积分广义矩阵1.1基本概念和定义矩阵：简化复杂数学表达式。例如：用矩阵表示：AX=B1.1基本概念和定义方阵：行数和列数相同的。（行列式）列矩阵：只有一列的矩阵，又名列向量。行矩阵：只有一行的矩阵，又名行向量。思考：一个的矩阵能不能看成多个行向量或列向量表示？对角矩阵：n阶方阵A除了朱对角线元素外，其余元素都是0。当对角矩阵，主对角线上的元素全为1时，则称为：单位阵（幺阵），记为：。1.1基本概念和定义零阵：所有元素全等于零的矩阵。矩阵相等：①行数和列数分别相等；②对应的元素

2、都相等。对称矩阵：方阵A满足转置矩阵：阶矩阵A的行列互换而得到阶矩阵叫做A的转置矩阵。或共轭矩阵;矩阵A的复数元素全部用各自的共轭复数来替换，则两个矩阵互为共轭矩阵。1.1基本概念和定义逆阵：设方阵A，若存在另一个方阵B满足AB=BA=I，则两个矩阵互为逆阵。记为：。奇异矩阵：方阵对应的行列式为0。非奇异矩阵：方阵对应的行列式不为0。矩阵的秩：矩阵A中线性独立的列或行向量（列向量和行向量线性无关向量的最大个数）的数目。余子式：从阶矩阵A中去掉第i行、第j列所得带到的阶对应的行列式叫做矩阵A的余子式。1.1基本概念和定义余因子式：矩阵A中元素的余因子式定义为，也就是方阵中元素即为用乘

3、A中去掉i行和j列后构成的矩阵所对应的行列式。伴随矩阵：矩阵B，其第i和j列元素等于时，称B为A的伴随矩阵。B=adjA正交矩阵：若n阶方阵A和它的转置矩阵满足则称矩阵A为正交矩阵。1.2基本运算矩阵的加减法：相应行列的元素进行加减。矩阵的乘法：A*B可乘条件：A矩阵的列数=B矩阵的行数。注意：AB=BA?3.分块矩阵：矩阵分块后每个子块就如同矩阵的元素一样进行运算，但要注意转置问题：子块先进行行列互换，然后每个子块转置。4.矩阵的初等变换：①某行乘K。②某行乘非0的K加到另一行。③对调矩阵的任意两行或两列。通过初等变换可以求矩阵的秩。1.2基本运算5.矩阵的求逆计算：三种方法①利

4、用伴随矩阵adjA②利用矩阵的初等变换求逆。③利用分块矩阵求逆6.矩阵的因式分解1.3矩阵的特征方程、特征值和特征向量1.矩阵A的特征矩阵：2.特征多项式：3.特征方程：4.特征值：特征方程式的解5.特征向量：若为矩阵A的特征值，则方程一定有非0解向量。则为矩阵A的属于特征值的特征向量。6.凯莱-哈密尔顿定理：若n阶方阵A的特征多项式为则有：1.3矩阵的特征方程、特征值和特征向量7.求特征值和特征向量步骤写出矩阵A的特征矩阵；写出特征方程，并求出解（特征值）；求特征向量。1.3矩阵的特征方程、特征值和特征向量几点特性：①若是属于特征值的一个特征向量，那么也是属于的特征向量。②矩阵A

5、的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的。③矩阵A的同一个特征值所对应的特征值也是线性无关的。④矩阵A的重根特征值所对应的特征向量个数不一定与重根个数相等且特征向量的个数不大于重根次数。⑤实对称矩阵的特征值一定是实数。1.4矩阵的相似变换1.矩阵相似的概念：设有两个n阶方阵A、B，如果存在一个n阶可逆方阵P，使得则称B与A是相似的，记做:A～B2.相似的运算性质：①②③④若为一特征多项式，则有⑤⑥⑦⑧1.4矩阵的相似变换3.化标准型（对角型、约当型）①化对角标准型n阶方阵A可对角化的充要条件：A有n个线性无关的特征向量。若A有n个不同的特征值，则A一定与如下对角阵相似：实对称方阵一

6、定可对角化，因其有n个线性无关的特征向量。相似变换中的满秩阵P可由方阵A的特征向量所构成。1.4矩阵的相似变换根据相似性，若存在满秩阵P;则有设则有即：为的特征向量1.4矩阵的相似变换化对角标准型的步骤：写特征方程并求特征值；求特征向量；利用特征向量做满秩矩阵P；化对角阵注：当线性无关的特征向量的个数小于矩阵的阶次时无法进行对角化。1.4矩阵的相似变换设矩阵，试将其对角化。解：第一步，列些特征方程并求特征值。第二步，求特征向量。对于有得特征向量：1.4矩阵的相似变换对于，有得特征向量：第三步，利用特征向量做满秩矩阵P.则1.4矩阵的相似变换对角阵：1.4矩阵的相似变换②化约当标准型

7、（矩阵特征向量数小于矩阵的阶次，可化为约当标准型）约当块1.4矩阵的相似变换约当标准型：由一些约当块组成的准对角阵，称为约当标准型1.4矩阵的相似变换约当标准型存在定理复数域上任一n阶方阵A都可以化为一个约当标准型。除去A的约当标准型的约当块的排列次序外，是被A唯一确定的。复数域上的n阶仿真A的约当标准型J的主对角元恰好是A的特征值，并且J的主对角线上A的任意特征值出现次数等于其特征值的重数。1.4矩阵的相似变换化约当标准型的方法初等因子法列出矩阵A的特征矩阵，得矩阵