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1、附录I矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉及到的。一、向量矩阵的定义将np个实数a11,a12,L,a1p,a21,a22,L,a2p,L,an1,an2,L,anp排成如下形式的矩形数表，记为Aa11a12La1pa21AMa22La2pMMan1an2Lanp则称A为np阶矩阵，一般记为A(aij)np，称aij为矩阵A的元素。当np时，称A为n阶方阵；若p1,A只有一列，称其为n维列向量,记为a11a21Man1若n1
2、,A只有一行，称其为p维行向量，记为a11,a12,L,a1p当A为n阶方阵，称an,a22丄,ann为A的对角线元素，其它元素称为非对角元素。若方阵A的非对角元素全为0，称A为对角阵，记为a11a22diag(a11,a22,L,ann)ann进一步，若a11a22ann1，称A为n阶单位阵，记为In或如果将np阶矩阵A的行与列彼此交换，得到的新矩阵是pn的矩阵，记为a11a21Lan1a12a22Lan2MMMa1pa2pLanp称其为矩阵A的转置矩阵。若A是方阵，且AA，则称A为对称阵；若方阵AGj)nn，当对一切ij元素aij0，
3、则称a11Aa21a22AMMOan1an2Lann为下三角阵；若A为下三角阵，则称A为上三角阵。矩阵的运算1.对A(aj)np与B(bj)np的和定义为：AB(aijbij)np2.若a为一常数，它与矩阵np阶矩阵A的积定义为：aA(aaij)np3•若A(aQpq,B(bkj)qn，则A与B的积定义为:qAB(aikbkj)pnk1a(AB)aAaB，(a)AaAAA(BC)ABAC，(AB)CACBC4.对转置运算规律(AB)AB，(aA)(aA)(AB)BA，(A)A另外，若A(aij)nn满足AAAAI，则称A为正交阵。根据上述
4、矩阵加法、数乘与乘的运算，容易验证下面运算规律：1.加法满足结合律和交换律(AB)CA(BC)ABBA2.乘法满足结合律(a)Aa(A)，a(AB)(aA)BA(aB)A(BC)(AB)C3.乘法和加法满足分配律12矩阵分块分块矩阵，即：aiia12La1pAa21a22La2pAMMMan1an2Lanp写成A11A12AA21A22其中A11(aij)niPi,A12(aiji)山P2,A21(aj)n2p1,A22(aij)n2p2,且nn2n,PiP2P。对于任意一个np阶矩阵A，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若干块低阶的
5、矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明:Aii22A21四、方阵行列式的性质一个n阶方阵A（a^j）nn中的元素组成的行列式，称为方阵A的行列式记为A或detA。它有以下我们熟知的性质：1•若A的某行（或列）为零，则A0；2.AA；3•将A的某行（或列）乘以数c所得的矩阵的行列式等于cA；4•若A是一个n阶方阵，c为一常数，则cAcnA5•若A的两行（或列）相同，则6•若将A的两行(两列)互换所得矩阵的行列式等于A;7•若将A的某一行(或列)乘上一个常数后加到另一行相应的元
6、素上,所得的矩阵的行列式不变，仍等于A；8•若A和B均为n阶方阵，则ABA
7、
8、B;n9.若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，贝UAaiii110.AA011.若A和B都是方阵，则ACA0A
9、
10、B0BCB12.若A和B分别是np和pn的矩阵，贝UlnAB
11、IpBA五、逆矩阵设A为n阶方阵，若A0,则称A是非退化阵或称非奇异阵，若A0,则称A是退化阵或称奇异阵。若A是n阶非退化阵，则存在唯一的矩阵B，使得ABBAIn,B称为A的逆矩阵，记为BA1。逆矩阵的基本性质如下：1.AA1A1AI112.(A)(A)3.若A和B均为n阶非退化阵，则
12、(AB)1B1A14.设A为n阶非退化阵，b和a为n维列向量，则方程:的解为AbabA1ai6.若A是正交阵，则A1A7.若A是对角阵，A则A1diag(an1,a221丄diag(an,a22丄©n)且aj0,i1,L,p,-1)。,ann8.若A和B非退化阵，则CBA1CB11A1B1CA0B19•设方阵A的行列式分块为:右An,A11A21A12A22A22是方阵且是非退化，则AA11A22A21A111A12A221A11A12A22A21六、矩阵的秩设A为np阶矩阵，若存在它的一个r阶子方阵的行列式不为零，而A的一切(r1)阶子
13、方阵的行列式均为零，则称A的秩为r，记作rk(A)r。它有如下基本性质：1.rk(A)0,当且仅当A0；2.若A为np阶矩阵，则0rk(A)min(n,p)；3.rk(A)rk(A)；4.rk
