单摆周期公式的推导.pdf

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1、单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F与物体相对于平衡位置的位移x成正比，方向与位移x相反，用公式表示可以写成F=-kx，其中k是比例系数。对于质量为m的小球，假设t时刻（位移是x）的加速度为a，根据牛顿第二运动定律有：kF=ma=-kx，即a=-xm因此小球的加速度a与它相对平衡位置的位移x成正比，方向与位移x相反。因为x（或2dxkF）是变量，所以a也是变量，小球作变加速运动。把加速度a写成，并把常数2dtm22dx2写成得到=-x。对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为2dtx=Asin(t+)

2、。这说明小球的位移x是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，k2其变化的角速度为==，从而得到作简谐运mTm动物体的周期为T=2。klTATB二．单摆周期公式的推导G1P单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小OG2球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。GG当摆球静止在O点时，摆球受到的重力G和摆线图1的拉力T平衡，如图1所示，这个O点就是单摆的平衡位置。让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G和摆线的拉力T就不再平衡。在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O附近来回往复运动。当摆球运动到任一点P时，重力G沿着圆弧切线方向的分力G=

3、mgsin提供给摆球作为来回振动的回复力10xF=G=mgsin，当偏角很小﹝如＜10﹞时，sin»»，所以单摆受到的回1lmg复力F=-x，式中的l为摆长，x是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F与lmg位移x的方向相反，由于m、g、L都是确定的常数，所以可以用常数k来表示，于l是上式可写成F=-kx。因此，在偏角很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方mg向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。把k=代入到简谐运动物体的周期公式，ll即可得到单摆的周期公式是T=2。g三．单摆周期公式在特定条件下的应用讨论1：单摆周期公式中的l指的是单摆的摆长，但在特

4、定情况下可以理解为是等效摆长。L例1．如图2所示，为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长的细线悬挂一个小球而构成的。已知摆长为L，摆线与天花板之间的夹角为。求小球在垂直于纸面方向作简谐运动时的周期。解析小球在垂直于纸面内作简谐运动时，其等效摆长为图2LsinLsin，所以此双线摆的周期T=2。g讨论2：单摆周期公式中的g指的是重力加速度，而在很多特定条件下可以理解为g¢——摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向．．．．F的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力F与摆球质量m的比值，即g¢=，（在加速运m动系统中，还应包括惯性力，惯性力的

5、大小F¢=ma，方向与系统的加速度的方向相反）l此时，单摆的周期公式就变成了T=2。g'例2．在电场中带电摆球的摆动周期如图3所示，长为L的绝缘细线下端系一带电量为+q、质量为m的小球，整个装置处0于场强为E方向竖直向下的匀强电场中，在摆角小于5时，求它的摆动周期。解析摆球所受到的力如图3所示即细线的拉力F、重力mg和电场力Eq。当摆球在平衡位置保持相对．．静止时，摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着F．．FEq摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力GEqEmg+EqEqF=mg+Eq，则g¢==g+，Gmm图3图4L摆动的周期是T=2。Eqg+m若整个装置处于如图4

6、所示的电场中，同样可以求得单摆的摆动周期为LT=2。2Eq2g+()maT例3．如图5所示，求在匀加速上升的升降机内单摆的周期。F¢G图5解析设升降机匀加速上升的加速度为a，单摆的摆长为L，摆球的质量为m。当摆球在平衡位置保持相对静止时，摆球受到的力如图5所示即摆线的拉力T和重力G．．．．以及惯性力F¢=ma，方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的始终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力F=mg+ma，FLL因此g¢==g+a，所以单摆的周期T=2=2。mg¢g+aa如图6所示，若单摆处于沿水平方向作匀加速直线运动的系统内，F¢T单摆的摆G长

7、为L，系统水平向右的加速度为a，摆球的质量为m，求这一单摆的周期。解析摆球受到摆线的拉力T和重力G以及惯性力F¢=ma，惯性力的方向与系统的加速度方向相反。摆球所受到的外力中除去所有的始图6终沿着摆线方向的力，剩余的各力沿着摆线方向的合力22F=ma+g，因此，22LTg¢=a+g，单摆的周期T=2。22+q,ma+gF¢例4．如图7所示为一单摆，摆绳长为L，摆球的质量为m，摆球带G有正电荷的电量为q，在单摆的悬点处放有一带电量为Q的正电荷，试求图71这一单摆的周期。解析摆球受到摆绳的拉力T、重力G和