单摆周期公式的推导-论文.pdf

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1、◇科技创新◇科技_向导2014年27期单摆周期公式的推导刘亚红(延安大学西安创新学院陕西西安710100)【摘要1通过求解在特定条件下和一般条件下，单摆周期公式的微分方程，使学生加深理解小球的运动规律，同时解答学生在实验过程中的疑惑。【关键词】单摆；特征方程；椭圆积分一个金属小球系在一根细长的没有弹性的线由(7)式，依次可求出、、⋯、带入下式，即：上．如图1所示。如果，细线的质量比小球的质量小2n2+2．．+很多．球的直径又比细线的长度小很多，则此装置n『n—J+．．一手争0⋯‘J(1o)可看作是一根不计质量的细线系住一个质点，这就因为dOI：0，由(8)式可求出，a-=0

2、。是单摆略去空气的浮力和阻力以及线的伸长不计．在摆角0很小时(÷0)，小球的运动方程是：It=O-，f13(9)~，a==m％=-mgsinO(1)a．为切向加速度．又sinO可以展开成级数：又=手sin0，所以，一手sin岛，即，一寺sinOo。{毒0为t的函数，对(1o)式，方程两边关于t的同次方幂对应项进行sinO=sinO一一+一⋯(5。)比较，由a。：0，依次可以求出a=0，a=O，⋯，a1=O，oo~0即(7)表达式中，j：J：t的所有奇数次方幂系数都为零。由此．我们想到了可以用椭圆积分求一0时。sinO0，(1)式可变形为圈lma,=一m【2)又小球切向加速度

3、A可表示为：警=一手。(11)z警又警=dca·dO等其中，l为摆长，Ot为角加速度，则有：(11)式可变形为：n，等一手sn口：一两端积分：1∞2=手c∞cdtdY．t=0时，0=，∞=0，所以，cl一手cosOo．一+0=-0(3),O~‘l；：}{cosc砌解此二阶齐次线性微分方程，设立特征方程为：dO^手=o∞：=V—~-(cos—O-cosOo)=2∞。、／sin2争-siTl2争求得特征根为：r：：±i式中，=、／手，分离变量，得：所以．齐次微分方程的通解为：衄、／手件、／手z、／s争争／~sin0tmo：，cJ：ic：、／s坤。2-n争咖，则=争s呻，即争co

4、s~d=争佩)=厢)]等0o0o风得令8佩0oc。s则有os+)(4)啪1。寺枷sindp又：2、／手，日9．化简dt：—=—l_===一(13)兰(5)g=、v／争当0>5。时．考虑到0对周期的影响，重新解微分方程(3)，即：⋯分dt：f。㈣)一争sin0(6)用微分方程的幂级数解法，求解此方程。因为t=O时，0=0o，故设d6所以特／_v0~-00+aIt+a~t+a￡+⋯+at+⋯(77)h=+22．．+n～+．．‘(8)：2n2+6￡+12+⋯+n(n-1)antn～+⋯(9)研丽dx‘下转第8页’3272014年27期科技一向导◇科技创新◇充分发挥科技进步和创新的

5、巨大作用于颖(兰西县委党校黑龙江兰西151500)科学技术作为“第一生产力”是和谐社会系统运行的核心动力科类提供取之不尽的无污染能源。人工合成材料缓解自然资源紧缺状况．学技术促进生产力发展、促进人与自然协调发展和推动人与社会的协方兴未艾的“数字城市”，以覆盖全市的信息网络为依托．以先进的信息调发展．大力推进科技进步和创新．发挥科学技术对构建社会主义和技术挖掘手段为触角，时刻监控着自然界和人类社会的发展变化，准确谐社会的关键作用。具体体现在经济价值、生态价值和人文价值方面．地预测着人类社会的活动与自然环境变化之间的关系，等等所有这现阐述如下：些'都为人与自然和谐共生、协调发展

6、开辟着新的途径。1．科学技术的经济价值体现在科学技术促进社会经济全3．科学技术的人文价值体现在推动人与社会的协调发展面、协调、可持续发展科学技术进步与创新是先进文化发展的重要因素。可以大力提高当代科学技术向人类提供了可以全面深刻地认识自然的潜力和手全民族的思想道德和科学文化素质，促进人与人之间、人与社会的和段高科技是人类对自然规律认识的成果同时也是人类创造性思维的谐发展具体来讲：最高成就。人类借助高科技仪器设备和手段，可以从宏观和微观上更精3．1科技进步促进人的自由发展确认识自然界．进一步扩大人类的认识视野，把握自然界的客观规律．造在工业文明下．人们从不怀疑自己作为人的躯体

7、．却常常怀疑自己福于人类。高科技的广泛使用必然会对人们的观念和生活习惯产生不作为人的灵魂，不断重复的机械生产、普遍扩张的工具理性，使人沦落可估量的深刻影响从而加速和谐社会发展的进程。利用当代科学技术，为没有自由、没有个性的“活物”。随着科学技术的广泛使用，特别是生还可以不断扩大人类劳动的对象和内容从而解决构建和谐社会进程中产全面自动化的实现将把人从单调重复的繁重劳动中解放出来，劳动所面临的资源和能源日益短缺的问题。利用当代高新技术，不断寻找将不再是一种谋生的手段和沉重的负担。而变成了生活的第一需要和开发新的资源和能