若干等效单摆周期公式的理论推导.doc

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1、理论推导若干等效单摆周期公式的推导姓名：袁玉亮性别：男单位：安徽阜阳第十一中学电话:13956727490邮箱:yuliang_yuan@163.com邮编:236000摘要：一般中学物理教材中只仅仅给出单摆周期公式，目前有关单摆论文资料对单摆及其周期公式的应用说明有些杂乱零散，本文就在目前有关单摆的论述的基础上，结合个人对单摆的理解，用比较通俗的语言，详细说明单摆的实质、单摆周期公式及其应用条件、单摆周期公式在各种具体情况下的运用、复摆及其周期公式的推导、单摆与复摆之间的简单联系等知识，希望读者可以通过阅读本文，很好的学习、理解和掌握单摆知识，并应用这些知识解决单摆相关的问题。关键词：

2、单摆；周期公式；简谐振动；等效单摆；等效摆长；等效重力加速度；复摆；周期公式的应用0.引言单摆是中学物理中一种典型的重要的力学物理模型，它具有非常广泛的应用。高中物理中的单摆复习，突出的问题：一、单摆摆动时的平衡闻之确定。二、单摆周期公式的“l”和“g”的确定，由于高中物理教材中只是直接给出单摆周期公式。因此，学生要掌握公室中的“l”和“g”的含义有一定难度。深入理解单摆模型，无论对于学习物理学相关知识，还是其他学科有关知识都具有极其重要的意义。物理学知识来源于实际、区别于实际、应用于实际，物理学采用独特的方法研究和处理实际问题，服务于实际需要。单摆正是物理学中的典型知识，学好单摆知识对

3、于学习及掌握物理学的研究方法和处理问题的思维模式有重要促进作用，更有利于个人思维能力的发展。因此，有必要对单摆极其周期公式有明确的认识。本文将在下面系统阐明单摆的实质，周期公式含义及推导，周期公式在各种具体情况下的应用，复摆极其周期公式的推导，单摆与复摆之间的简单联系。其中，单摆周期公式在各种具体情况下的应用是建立在对单摆模型正确理解基础上的，重点在于具体周期公式中的等效摆长和等效重力加速度因具体情况变化而不同；复摆知识的介绍是为很好理解和掌握单摆知识服务的。1.单摆的定义1.1定义定义：由可视为质点的重物（摆锤）挂在一根不可伸长且质量可忽略不计的悬线下端，另一端固定-12-，这个系统就

4、称作单摆。用常用的线球模型定义即可表述为：在一根几乎不能伸长的细线下端拴一个小球，细线的质量远小于小球的质量，细线的长度远大于小球的半径，另一端固定，这样的一个理想系统就称为单摆。L摆长AOBC重物（摆锤）悬点1.2说明如右边示意图（图甲）所示，当把质点拉离平衡位置，然后释放，指点就在该平衡位置附近沿以悬点为中心摆长为半径的圆弧做微小振动，振动的回复力由质点（摆锤）重力的一部分提供。假若单摆摆动幅度很微小，回复力与质点摆动位移成正（图甲）比，方向相反，则该单摆的摆动就是简谐振动。悬点是摆锤摆动平面与摆线拉力作用线的交点，在单摆摆动过程中，摆线拉力作用线始终通过悬点，悬点与摆球重心之间的距

5、离称为摆长。2.单摆的周期公式2.1简谐振动的周期公式物体做简谐振动就要受到回复力的作用，而且回复力F与物体相对于平衡位置的位移X成正比，方向与位移方向相反，用公式可表示为F=-kX,其中k是比例系数。假设物体质量为m,在t时刻（位移是X）的加速度为a，对该物体应用牛顿第二定律有：F=ma,即,进一步写成：……………………①①式即是作简谐振动物体的动力学微分方程，容易解得其解为：X=Asin（ωt+）………………②其中，ω2=………………③②式表明该物体以A为振幅、ω为圆频率、为初相做简谐振动。该做简谐振动物体的周期T与圆频率ω之间的关系为：TG2L摆长AOBC悬点GG1重物（摆锤）ω=

6、………………④有③、④二式可得，简谐振动物体的周期公式为：T=………………⑤2.2单摆的周期公式当摆球静止在B点时，重力G和拉力T平衡，如右边（图乙）所示，该点就是单摆的平衡点。（图乙）当拉摆球至C点处，然后释放，在重力G的分力G1提供回复力，使摆球在平衡点B附近往复摆动，重力-12-沿圆弧的切向分力G1=mgsin,当摆角很微小（）时，sin≈≈,即G1=mg，考虑位移与运动方向关系，即有：G1=-X，该式与F=-kX比较知，这种情况下（﹤）单摆做简谐振动，类比易知：ω2=，即得单摆周期公式：T=………………………………………………………⑥说明：周期公式：T=是在单摆作简谐振动的条件下

7、得到的，公式中的“l”和“g”在此分别指单摆的摆长和重力加速度，但在特定的情况下分别指等效摆长和等效重力加速度，单摆摆动的平衡位置，也不是单摆摆动的最低位置，而是单摆不摆动的相对所处环境的静止位置。等效摆长和等效重力加速度的确定依赖以下两个问题(a)单摆摆动时绕的摆动点或摆动轴；(b)单摆摆动时的轨迹平面。I：对绕固定点摆动的单摆，“l”为摆球重心到固定点的长度，即摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离。“g”为单摆不摆动在所在环境中静止时