单摆周期的近似公式比较

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1、第28卷第11期河南科学Vol.28No.112010年11月HENANSCIENCENov.2010文章编号：1004-3918（2010）11-1379-03单摆周期的近似公式比较李建国，王奇文（郑州师范学院，郑州450044）摘要：用级数展开积分法、迭代法以及余弦函数法给出了单摆运动周期的3种近似公式.并与椭圆积分得到的周期严格解进行比较，得出在不同摆角时的相对误差，根据实际问题的不同精度要求，选择恰当的近似公式.关键词：单摆；周期；近似公式；相对误差中图分类号：O314文献标识码：A我们知道，摆锤质量为m，摆长为l、摆角为θ（最大摆

2、角θ0）的单摆，无阻尼自由振动时，由机械能守恒定[1]律可得122mlθ觶+mgl（1-cosθ）=mgl（1-cosθ0），2觶2g化简求得θ=姨cosθ-cosθ0，姨lg2θ02θ将上式变形为dθ=2sin-sindt，姨l姨22θ0ldθ两边积分可得T=2乙，姨g0θθ202sin-sin姨22θ0θ令k=sin，ksinφ=sin，上式可化为22πl2dφπT=4乙≤0≤θ≤θ0，对应0≤φ≤≤.（1）姨g0姨1-k2sin2φ2[2]（1）式中的积分可以从椭圆积分表中查出，虽然精确，但计算过于复杂.本文将导出几个简单的近似公式，

3、并与椭圆积分得到的周期严格解进行对比.1几种近似方法1．1积分法1[3]将（1）式中展开成幂级数，并逐项求积：22姨1-ksinφπl2122T=4乙≤1+ksinφ+…≤dφ，（2）姨g021·3·5·7·…·（n-1）2n2n第n＋1项为ksinφ.对（2）式积分可得n2·n!l1294T=2π≤1+k+k+…≤，（3）姨g464第n＋1项为收稿日期:2010-08-11作者简介:李建国（1964－），男，河南荥阳人，副教授；王奇文（1963－），男，河南巩义人，副教授.-1380-河南科学第28卷第11期1·3·5·7·…·（2n-1

4、）2n-112n··…·k，n=1，2，3，….n2·n!2n2θ0θ0将k=sin展开为的幂级数，并取前两项代入（3）式得222θ01141726T=T0+1++θ0+θ0+…+，（4）163072737280l其中T0=2π.若取（4）式中前两项，则姨g2θ0T=T0+1++，（5）16若保留（4）式中θ0的四次幂项，则2θ0114T=T0+1++θ0+.（6）1630721．2迭代法单摆的动力学方程为2gθ咬+ω0sinθ=0，ω0=.姨l[4]将sinθ展开成θ幂级数并取前两项：3咬2θθ+ω0（θ-）=0，（7）6将（7）式变形为

5、2咬2ω03θ+ω0θ=θ.（8）6取（8）式的齐次方程的解为零次迭代，设解为θ0，将其代入（8）式再求该方程的特解，可得（8）式的一次[5]迭代近似解θ=θ0+θ1，依次类推，可得二次迭代近似解θ=θ0+θ1+θ2.由一次迭代法求得三级近似解：2θ014T=T0+1++θ0+，（9）16256l其中T0=2π.姨g1．3余弦函数近似法在（7）式中令θ=θcosωt，引用cos3x+1（3cosx+cos3x），并将θ咬=-ω2θcosωt，ω2θ=ω2θcosωt1θ3=00000461322θ022θ0θ02（3cosωt+cos3ωt

6、）代入（7）式，舍去θ0的最高次项，得-ω+ω0+1-+=0，则ω=ω0+1-+，可求得周期为248812-θ02T=T0+1-+，（10）812-lθ02其中T0=2π.此近似公式，亦可利用哈密顿原理求出.将（10）式中+1-+展开成θ0的幂级数形姨g8式，并可得2θ034T=T0+1++θ0+.（11）165122几种近似公式比较将（5），（6），（9），（11）式中的T分别记为TA，TB，TC，TD，则2010年11月李建国等：单摆周期的近似公式比较-1381-2222θ0θ0114θ0114θ034TA=T01+，TB=T01

7、++θ0，TC=T01++θ0，TD=T01++θ0.161630721625616512表1T0/T′，TA/T′，TB/T′，TC/T′和TD/T′列表比较Tab．1ListofT0/T′，TA/T′，TB/T′，TC/T′andTD/T′θ00°10°20°30°40°50°60°70°80°90°T0/T′10.99810.99240.98290.96960.95260.93180.90740.87910.8472TA/T′11.00381.01541.03481.06271.09981.14681.20491.27611

8、.3625TB/T′11.00001.00001.00001.00001.00001.00141.00141.00151.0019TC/T′11.00001.00001.0002