对单摆周期公式的应用初探

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1、对单摆周期公式的应用初探安徽省肥东第一中学王在峰(安徽肥东一中231600手机：13637089983)在人教版高中物理选修3-4《机械振动》第4节中介绍了单摆，并给出了单摆周期公式。在应用这一公式解决具体问题时，往往需要准确地把握摆长和重力加速度的概念，有时还要灵活地运用等效的思想加以研究。本文对这一公式的推导过程和成立条件不作赘述，只打算对其应用作一初步探讨。图1O1、准确把握摆长的概念。如图1所示，摆球运动的轨迹是一个圆弧，所以单摆做的是一个非完整的圆周运动，而摆长则为该圆周运动的轨道半径。即：“

2、”为质点到圆心的距离。【例1】一个在夏天走时很准的钟，若到冬天，则走时是变慢还是变快？〖分析与解〗到冬天时，由于热胀冷缩，摆长变短，故周期变短，走时变快。【例2】在以下三个问题中均不计空气阻力：（1）如图2所示，长为L的轻绳一端固定于天花板上的O点，另一端系一小球（可看成质点），在悬点的正下方L/3处有一钉子，今将小球拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。（2）如图3所示，两根长为L的轻绳一端分别固定于天花板上的A点和B点，另一端共同系一小球（可看成质点），平衡时，两绳与水平的夹角均为θ

3、。今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。（3）如图4所示，三绳长均为L，上面两绳一端固定在天花板上，拉直时与水平成θ角，今将小球沿垂直纸面向外拉离平衡位置（摆角很小）由静止释放，求小球摆动的周期。B图4ALLθθLLLθθAB图3L/32L/3O’图2O第6页（共6页）〖分析与解〗（1）当小球在右侧摆动时，轨迹所在圆弧的圆心在O点，摆长为，当小球在左侧摆动时，轨迹所在圆弧的圆心在O’点，摆长为，故周期为：（2）小球摆动轨迹所在圆弧的圆心在AB的中点，摆长为,故周期为

4、：（3）小球摆动轨迹所在圆弧的圆心在AB的中点，摆长为,故周期为：L图5AB【例3】在光滑的水平导轨上有一个滚轮A，质量为2m，轴上系一根长为L的轻质细线，下端悬一质量为m的摆球B，A、B的直径均远小于L，如图5所示。今将B球稍微拉离竖直位置后释放，摆球作小幅度的振动，不计空气阻力，求其振动周期。图6ABL’O〖分析与解〗由于水平方向系统不受力，故A、B组成的系统质心的水平坐标不变，而B又仅做微小的振动，竖直分位移极其微小，所以系统质心在竖直方向的位置也几乎不变，故可以认为B球的摆长就是B球到质心O的距

5、离，如图6所示，且有：故其周期为：2、准确把握重力加速度的概念。根据公式可知，单摆的周期与重力加速度有关，同时在教学中，我们也带领学生通过实验测定了本地的重力加速度的数值，然而不同地点的重力加速度值是有差异的，所以即使是同一个完全相同的单摆，在不同的地点摆动时，周期也存在差异。第6页（共6页）【例4】一个在广州走时很准的摆钟，若到了莫斯科，则走时是变慢还是变快？〖分析与解〗由于地球自转的缘故，地球上纬度越高的地方重力加速度值越大。所以这个摆钟在莫斯科时摆动的周期要小于在广州时摆动的周期，所以到了莫斯科后

6、，摆动加快，走时变快。【例5】一个在山脚下走时很准的摆钟，若到山顶上，则走时是变慢还是变快？〖分析与解〗根据万有引力知识，离地越高的地方重力加速度值越小。所以这个摆钟在山顶时摆动的周期要大于在山脚时摆动的周期，所以到了山顶后，摆动变慢，走时变慢。【例6】一个在地球表面上走时很准的摆钟，若到了月球表面上，则走时是变慢还是变快？〖分析与解〗由于地球和月球质量的差异，月球表面重力加速度要小于地球表面重力加速度。所以这个摆钟在月球表面上摆动的周期要大于在地球表面上摆动的周期，所以到了月球表面后，摆动变慢，走时变

7、慢。3、等效思想在单摆和类单摆问题中的应用。3.1、“等效重力加速度”的求解策略3.1.1、斜面上的单摆θ图7【例7】如图7所示，在倾角为的光滑斜面上，一根长为L的轻绳一端固定在斜面上，另一端系一个可看成质点的小球静止在斜面上，今将小球拉离平衡位置一段很小的距离，放手后小球在斜面上来回摆动，不计空气阻力，求其周期。〖分析与解〗将斜面看成一个“等效竖直面”，小球静止时，绳中拉力与重力沿斜面向下的分量相等，则可以将看成“等效重力”，则“等效重力加速度”为。故周期为：3.1.2、非惯性系中的单摆【例8】如图8

8、所示，在减速上升的升降机内有一个摆长为L的单摆，已知升降机加速度大小为a（a