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1、1.4倒易点阵和布里渊区(Reciprocallattice;Brillouinzones)一.定义二.倒易点阵和晶体点阵的关系三.倒易点阵的物理意义四.倒易点阵实例五.布里渊区GGG一.定义：JG假设Gaaa123,,G是一个晶格的基矢，该点阵的GGGG格矢为：原胞体积是：Rn=++na111123nanaΩ=aaa123i()×GGG现在定义另一晶格的GGG3个基矢：bbb123,,，它们与aaa123,,的关系满足：GG2,πij=ab⋅=2πδ=ij,1=,2,3iiij0,ij≠GGG则称这两种格子互为正倒格子GGG
2、。若基矢aaa123,,的格子为正格子，则bbb123,,的格子就是倒格子。反之亦然。JGGGG位移矢量Ghhkl=++bk123blb就构成了倒易点阵。上面变换公式中出现的2π因子，对于晶体学家来说并没有多大用处，但对于固体物理研究却带来了极大的方便。倒易点阵的概念是Ewald1921年在处理晶体X射线衍射问题时首先引入的，对我们理解衍射问题极有帮助，更是整个固体物理的核心概念。KKKa×a23b1=2πKKKa⋅()a×a证明：123KaK×aK倒格子的另一种定义31b2=2πKKKa⋅()a×a123KKKa×a12b3
3、=2πKKKa⋅()a×a123GGGGGGGbaba12⊥,13⊥bc12=×aa3GGGGGabcaaa11⋅=⋅×=123()2π2πc=GGGaaa123⋅×()GGJG2(πaa23×)b=GGG1aaa123⋅×()GGGGJJG2(πaa31×)JJG2(πaa31×)b=GGGb=GGG同理22aaa123⋅×()aaa123⋅×()二.倒易点阵和晶体点阵之间的关系：倒易点阵是从晶体点阵（以后简称正点阵）中定义出的，可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系：KKb⋅a=2πδijij1.两个点阵的基矢之间：⎧1,
4、i=jδ=⎨ij⎩0,i≠jJGJG2.两个点阵的格矢之积是2π的整数倍：GRhin=2mπJGJGGGGGGGRGniihkl=++()nananahbkblb12312312(++3)=+2(ππnhnknl+)2=m（m为整数）123GGG(2)33.两个点阵原胞体积之间的关系是：*πΩ=bbb123i()×=Ω习题1.13JG4.正点阵晶面族(,,)hhh与倒易点阵格矢Ghhh123相互垂直，JGGG123GGhkl=++hb1hb2hb3且有：d=JG2π123hhh123Ghhh123JGGGG证明：先证明倒格矢G
5、hhhh123,,=++123b1hb2hb3与正格子的晶面系()hhh123正交。如图所示，晶面系()hhh中最靠近原点的晶面（ABC）123GGGGGG在正格子基矢aaa123,,的截距分别为：aaa123,,hhh123于是：GGJJGJJJGJJJGaa13CAOAOC=−=−hh13GGJJJGJJJGJJJGaa23CB=OBOC−=−hh23JGJJG∵iGChhhA=123GGGGGaa13()hb123++hbhbi(−)123hh13=−=220ππJGJJJGJJGJJJG同理GChhhiB=0而且CAC
6、B,都在（ABC)面上，JG123所以Ghhh123与晶面系()hhh123正交。JG晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离，由于GAhhh⊥()BC123JGJGJGJJGJGJJJGGhhha()hbhb++hb2πdO==AiJG1231⋅11JG2233=JGhhh123GGhhh123h1hhh123Ghhh123由此我们得出结论：倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中的一族晶面相对应的，它的方向是该族晶面的法线方向，而它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基矢对应一个阵点，因而可以说：晶体点阵中的晶面取向
7、和晶面面间距这2个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量（或说阵点）就能综合地表达出来。22ππd==JGGGGhhh123Ghhhh123123b123++hbhb利用这一公式可以非常方便地计算面间距对于立方格子：G222πGGππa为晶格常数bx123===,,bybzaaaad=hhh123222hhh++123a比如：d=1113指数小的晶面系，面间距较大adHKL=a=b=c立方晶系：222HKL++ad=四方晶系：HKL222HKL++22acad,=abc=≠HKL六角晶系：23222⎛⎞a(H+++HKK)⎜⎟
8、L习题1.144⎝⎠c1d,=abc≠≠HKL正交晶系：222⎛⎞⎛⎞⎛⎞HKL⎜⎟⎜⎟⎜⎟++⎝⎠⎝⎠⎝⎠abcGGG5.正点阵和倒易点阵是互易的：由正点阵aaa123,,给出倒易GGGGGG点阵bbb123,,现假定bbb123,,为正点阵，则其GGGGG2π*倒易点阵根
