倒格子与布里渊区

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1、§1.6倒格子与布里渊区一.倒格子（先在B格子和基矢坐标系中讨论)1.定义：正格子基矢a1a2a3倒格子基矢b1b2b32πi=jai·bj=0i≠j即i≠jai⊥bj例如:b1在a2×a3所确定的方向上（或反方向上）b1＝c(a2×a3)c为待定系数则，a1·b1＝ca1·(a2×a3)＝cΩ(A)其中Ω为正格子初基原胞体积，同时，由定义a1·b1＝2π（B）比较（A）,（B）式得b1＝（a2×a3）类似可得b2＝（a3×a1）b3＝(a1×a2)22有了倒格子基矢，可构成倒格矢。Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3倒

2、格子周期性其中h1h2h3为任意整数，由倒格矢Gh确定的空间叫倒格子空间。由上定义可知，Gh与波矢K有相同的量钢。属同一“空间”Gh是K空间的特定矢量。倒格子初基原胞“体积”Ω※＝b1·(b2×b3)注意：正倒格矢量纲不同，属不同的空间，可有方向上的关系，不能直接比较大小。#思考题：对二维格子，已知正格基矢a1、a2,如何确定b1、b2的方向？强调：这里定义的倒格矢，所对应的正格矢是在基矢坐标系中的。2．倒格子的重要性质（正倒格子间的关系）(1).若h1、h2、h3为互质整数，则Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3为该方

3、向的最短倒格矢。(2).正、倒格子互为倒格子。(3).Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3垂直于晶面族（h1、h2、h3）（两个h1、h2、h3分别相等）。证：晶面族（h1、h2、h3）中的一个晶面在a1、a2、a3上的截距为x,y,z,由面指数的定义:（h1、h2、h3）＝m(1/x、1/y、1/z)即h1x＝h2y＝h3z＝m（m为公因子）（A）在该晶面上作二非平行矢量（如图）u＝xa1－ya2v＝ya2－za3则u·Gh＝(xa1－ya2)·(h1b1＋h2b2＋h3b3)由倒基矢定义＝2π（h1x－h2y）由（A

4、）式＝2π(m－m)＝0即U⊥Gh同理可证υ⊥GhGh与（h1、h2、h3）面内二条非平行直线均垂直,所以Gh垂直于（h1、h2、h3）晶面族。(4)某方向最短倒格矢Gh＝h1b1＋h2b2＋h3b3之模和晶面族（h1、h2、h3）的面间距dh成反比。（5）倒格矢Gh和正格矢Rn的标积是2π的整数倍Gh·Rn＝2πm问题：若Gh，Rn分别为正、倒格矢，上式成立。反之，若上式成立，若已知一个为正格矢，则另一个必为倒格矢吗？证：Gnx晶面族(h1h2h3)中离原点距离为mdh的晶面方程为：其中x为晶面上的任意位矢，并

5、不一定是格矢。(6).正、倒格子初基元胞体积间满足Ω·Ω※＝（2π）3由性质（4）所以，故上反定理不成立。(7)晶体的傅立叶变换设函数V(x)具有正晶格周期性，它可以作付里叶级数展开：n是整数V(Gn)是V(x)在倒空间的“映像和表述”，它们之间满足傅立叶变换的关系。∴所以可以说，一个具有正格子周期性的物理量，在正格子中的表述与在倒格子中的表述之间满足傅立叶变换的关系。二．布里渊区（B.Z）GT010定义：任选一倒格点为原点，从原点向它的第一、第二、第三……近邻倒格点画出倒格矢，并作这些倒格矢的中垂面，这些中垂面绕原点

6、所围成的多面体称第一B.Z，它即为倒空间的W－S元胞，其“体积”为Ω※＝b1·(b2×b3)说明并不是原点仅到最近邻的倒格点的倒格矢的中垂面所围成的区域叫第一B.Z;第一B.Z又可表述为从原点出发，不与任何中垂面相交，所能达到的倒空间区域。第nB.Z则是从原点出发跨过（n－1）个倒格矢中垂面所达到的区域；各级B.Z体积相等。二维正方晶格的布里渊区二维长方晶格的布里渊区二维六方晶格的十个布里渊区面心立方晶格的第一布里渊区体心立方晶格的第一布里渊区•布里渊区界面方程GhK由晶面方程：当x换为倒格矢中垂面上的任意波矢K时，得

7、到布里渊区界面方程作业P636.7