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1、第16卷第1期1997年1月大学物理COLLEGEPHYSICSVol.16No.1Jan.1997布里渊区与倒格子原胞进1)李光惠2)李(1)东京大学机械工学系,东京,113,日本;2)荆州师范专科学校物理系,湖北荆沙434104)α摘要用简单数学方法就体心立方晶格和面心立方晶格证明了三维情况下布里渊区体积等于倒格子原胞体积.同时提出证明高阶布里渊区与简约布里渊区体积相等的一种简捷方法.关键词布里渊区;倒格子原胞;维格纳-赛兹原胞分类号O481.1a3×a1(2)b2=1引言ar()2a3×a1在正空间中,正格
2、子原胞体积等于维格纳—赛兹原胞体积;在倒空间中,倒格子原胞体积等于简约布里渊区体积,这已被公认.N.W.Ashcroft仅就二维布拉菲格子中的一种特例用割补平移法做了证明1.但对于三维倒格子,由于布里渊区形状比较复杂,迄今未见定量证明.本文就体心立方和面心立方格子两种特例用简单数学方法证明了布里渊区体积等于倒格子原胞体积,这种方法对于任意布拉菲格子都适用.本文还指出了证明高阶布里渊区与简约布里渊区体积相等的一种方法.a1×a2b3=a3r(a1×a2)则以b1、b2、b3为边矢量的平行六面体是倒格子中最小的周期性
3、重复单元,称之为倒格子原胞,其体积为8=b1r(b2×b3)(3)不难证明,正格子原胞体积和倒格子原胞体积2互为倒数,8=1ƒV0(4)虽然,正格其矢a1、a2、a3的选取不是唯一的,但是对于确定的晶格,其倒格子是唯一确定的.若a1、a2、a3选定,则相应的b1、b2、b3也是确定的.然而,对于上述的原胞,只描述了最小周期性一个侧面,为了使选取的单元既有最小周期性,又参反映出对称性,则有时在正格子中选某一格点为原点,作最近邻或最近邻和次近邻2正格子原胞与倒格子原胞固体物理中,若正格基矢为a1、a2、a3,则以a1
4、、a2、a3,为边矢量的平行六面体是晶格中最小的周期性重复单元,称之为原胞,其体积为V0=a1r(a2×a3)(1)正格矢的垂直平分面围成的区域作为原胞,这定义倒格基矢b1、b2、b3,它们与a1、a2、a3的关系为-赛兹原胞1.就是所谓的维格纳相应地,在倒格子中也可以作出所有倒格a2×a3b1=矢的中垂面围成一些区域,这就是由方程3ar(a12×a)3Khr(k+1Kh)=0(5)2收稿日期:1996-05-28α所描述的各个面所围成的区域,即布里渊区.式中,k是波矢,Kh是倒格矢.下面我们将分别以体心方立晶格
5、和面心立方晶格为倒,证明布里渊区体积等于倒格子原胞体积.C=1(100)aD=1(111)(8)2a由式(8)可得3体心立方晶格(9)AC=2ƒaBD=1ƒa所以菱形ABCD的面积不难证明,对于体心立方晶格,正格子原胞体积为a3ƒ2V0=a1r(a2×a3)=其倒格子原胞体积为(6)12S=AC×BD=(10)222a不难求出,以菱形ABCD为底、顶点为#角锥之高的四2ƒa38=b1r(b2×b3)=(7)式中,a是体心立方晶格正格子中典型立方单元的边长.众所周知,体心立方晶格的倒格子是面心立方晶格,由最近邻倒格
6、矢中垂面围成的区域是菱形十二面体,即第一布里渊区,如图1所示.122h=2r=(11)42aa四角锥#ABCD的体积81=Shƒ3=1ƒ6a3所以菱形十二面体的体积为8’=1281=2ƒa3(12)(13)比较式(13)和(7),可以得出,对于体心立方晶格第一布里渊区体积与倒格子原胞体积相等.4面心立方晶格对于面心立方格子其倒格子是体心立方格子.正格子原胞体积为V0=a1r(a2×a3)=a3ƒ4则倒格子原胞体积为8=b1r(b2×b3)=4ƒa3式中,a是正格子中典型立方单元边长.(14)图1体心立方晶格第一布
7、里渊区(15)由式下面将证明此菱形十二面体的体积与上述的以b1、b2、b3为边矢量的平行六面体即倒格子原胞的体积相等.因为正格子中典型立方单元边长为a,则倒格子中典型立方单元边长EF=2ƒa.不难看出,此菱形十二面体是由面积相等的十二个菱形面为底、顶点均在#点的十二个四角锥组成的.我们先求底面为菱形ABCD的四角锥的体积.显然,(5)所决定的第一布里渊区是由近邻和次近邻倒格矢中垂面围成的区域,即图2所示的截角A、B、C、D四个点的坐标分别为A=1(001)a-B=1(111)2a图2面心立方晶格第一布里渊区八面体
8、.由于正格子中典型立方单元边长为a,不难求出其倒格子中典型立方单元边长MN=2ƒa(图2).欲求此截角八面体体积,可以把它看成是由正方形ABCD为底,顶点在#的六个因此,图2所示的截角八面体体积为8’=681+882=4ƒa3(21)比较式(15)和(21),可以看出,对于面心立方格子第一布里渊区体积与倒格子原胞体积也相等.体积相等的四角锥与以正六边形ABEFGH为底、顶
