弯曲变形课件.ppt

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1、第六章弯曲变形xyxwFw=f(x)梁在平面弯曲时，其轴线弯成一平面曲线，称为梁的挠曲线。梁横截面形心的竖向位移称为截面的挠度，用w来表示。挠度以向上为正，向下为负。梁横截面对其原来位置转过的角度称为截面的转角，用来表示。转角以逆时针为正，顺时针为负。梁不同截面的挠度和转角不同，它们是截面坐标的函数，称为梁的挠度方程和转角方程。§6–2挠曲线近似微分方程xyxwFw=f(x)梁变形时，横截面始终保持平面，且始终与梁的轴线垂直，由高等数学可知：这就是梁的变形中，转角与挠度的关系。小变形下，很小，tg，于是得挠曲线的曲率与弯矩间的关系为由高等数学可知，曲线的曲率为小变形

2、下，很小，，于是得§6–2挠曲线近似微分方程xyMMxyMM这就是梁的挠曲线近似微分方程，由此微分方程积分一次可求转角，再积分一次可求挠度。为计算方便，将挠曲线近似微分方程改写为转角方程挠度方程解题关键：⒈正确建立梁的弯矩方程M（x）。若梁的各段弯矩方程不同，需分段建立；§6–3用积分法求弯曲变形每段梁都要积分两次，均出现两个积分常数，需通过边界条件和连续性条件来确定。⒉确定积分常数。位移边界条件光滑连续性条件－弹簧变形解题步骤：⒈建立坐标系。取梁的最左端为坐标原点，x轴水平向右，y轴竖直向上；⒉将梁分段（与画弯矩图分段相同），分别写出每段梁的弯矩方程；⒊将弯矩方程代入挠

3、曲线近似微分方程，并积分两次；⒋根据边界条件和变形连续条件确定积分常数；⒌将要求变形的截面坐标代入转角方程和挠度方程，求指定截面的转角和挠度。例1求梁的转角方程和挠曲线方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知。解:1）由梁的整体平衡分析可得：2）写出x截面的弯矩方程3）列挠曲线近似微分方程并积分积分一次再积分一次ABF§6–3用积分法求弯曲变形4）由位移边界条件确定积分常数代入求解5）确定转角方程和挠曲线方程6）确定最大转角和最大挠度ABF0,0==Awx例2求梁的转角方程和挠曲线方程，并求最大转角和最大挠度，梁的EI已知，l=a+b，a>b。解：1）由梁整体平衡分析得：

4、2）弯矩方程AC段：CB段：3）列挠曲线近似微分方程并积分AC段：CB段：4）由边界条件确定积分常数代入求解，得位移边界条件光滑连续条件0)(,22==lwlx5）确定转角方程和挠曲线方程AC段：CB段：6）确定最大转角和最大挠度令得，例3：已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定θmax和wmax。解：由对称性，只考虑半跨梁ACD由连续条件：由边界条件：由对称条件：梁的转角方程和挠曲线方程分别为：最大转角和最大挠度分别为：例4用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACDP2x1x3yBP1l/2l/4l/4x

5、2xqqABCxxylEAa例5用积分法计算图示各梁需分几段，确定积分常数的边界条件和变形连续条件是什么？ACPx3yBl/2l/2x2xqqABx1xyll/2x1DDCx2x3l/2l/2lABl/2EIl/22FCM=FlABEIl/2l/2CABl/2EIl/22FC=+M=Fl==++§6–4用叠加法求弯曲变形几种基本变化⒈悬臂梁⑴载荷在内侧，求端部位移abABFCEIwB⑵载荷在外侧，求内侧位移abABFCEIwBABFCCabFM=FbFs=F⒉外伸梁自由端位移FABClawcwc2BaABlaFFs=FM=FaFBBCBCCBawc2F例6求图示梁，B、

6、C截面的转角和挠度。ABCEIl/2l/2q解：ABCEIqABCEIq+ABCEIl/2l/2qABCEIqABCEIq+ABCEIl/2l/2qABCEICqFs=ql/2Fs=ql/2M=ql2/8l/2例7求图示阶梯形悬臂梁自由端的转角和挠度。ABC2EIaaFEIAC2EIaBCFFs=FFs=FaBFEIM=Fa解：CABC2EIaaFEIAC2EIaBCFFs=FFs=FaBFEIM=FaC例8求图示外伸梁自由端的转角和挠度。ABCll/2qF=ql/2ABll/2F=ql/2Fs=ql/2M=Fl2/4FsBC解：BCFqEIEI一、梁的刚度条件梁要正常工作

7、，其应力要控制在一定的范围内，即满足强度条件；同时梁的变形也要控制在一定的范围内，即满足刚度条件。土建类工程，主要要求梁的最大挠度要小于或等于许用值，即§6–6提高弯曲刚度的一些措施机械类工程，传动轴是装在轴承上，轴的转角过大会损坏轴承，因此要求轴在轴承处的转角必须小于或等于许用值，即二、提高梁的抗弯能力的主要措施⒈增大梁的抗弯刚度EI因各种钢材的弹性模量差别不大，对于钢梁来说，只有改善截面形状，增大截面的惯性矩，才能提高梁的抗弯刚度EI。如采用工字形、槽形、箱形等。⒉减小梁的跨度因梁的变形与跨度的若干次幂成正