高考数学总复习：第六篇 第2讲 等差数列及其前n项和课件.ppt

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1、第2讲　等差数列及其前n项和【2014年高考会这样考】1．考查利用等差数列的概念、性质、通项公式与前n项和公式解决等差数列的问题．2．在具体的问题情境中能识别具有等差关系的数列，并能用有关知识解决相应的问题．考点梳理(1)如果一个数列从第__项起，每一项与前一项的差是___________，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数为等差数列的_____，公差通常用字母__表示．(2)数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+)，d为常数．(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝____

2、_______.(2)通项公式的推广：an＝am＋________(n，m∈N+)．1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式2同一个常数公差d(n－m)da1＋(n－1)d3．等差数列的前n项和公式(2)若{an}为等差数列，且m＋n＝p＋q，则______________(m，n，p，q∈N+)．(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为____的等差数列．(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．(5)S2n－1＝(2n－1)an.若n

3、为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)．4．等差数列及前n项和的性质am＋an＝ap＋aqmd等差数列一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，①Sn＝an＋an－1＋…＋a1，②【助学·微博】两种方法等差数列的两种证明方法：(1)定义法：证明an＋1－an＝d或an－an－1＝d(n≥2)；(2)中项公式法：证明2an＝an＋1＋an－1(n≥2)．提醒：以上两种证明方法的关键是n的范围，即是否包括了a2－a1也是相同的常数．A．4B．5C．6D．7解析a2＋a8＝2a

4、5，∴a5＝6.答案CA．1B．9C．10D．55解析由Sn＋Sm＝Sn＋m，得S1＋S9＝S10⇒a10＝S10－S9＝S1＝a1＝1.答案A考点自测1．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()．2．(2011·江西)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1.那么a10＝()．A．7B．15C．20D．253．(2012·重庆)在等差数列{an}中，a2＝1，a4＝5，则{an}的前5项和S5＝()．答案BA．8B．7C．6D．5解析由a1＝1，公差d＝2得通项an

5、＝2n－1，又Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2，所以2k＋1＋2k＋3＝24，得k＝5.答案D4．(2011·全国)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝()．答案2n－1(1)求数列{an}的公比；(2)证明：对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列．[审题视点](1)利用等差数列的定义得到关系式2a3＝a5＋a4，代入等比数列的通项公式求得q；(2)利用等差数列的判断方法进行证明．考向一　等差数列的判定与证明【例1】►(2012·陕西)设{an}

6、是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5，a3，a4成等差数列．(1)解设数列{an}的公比为q(q≠0，q≠1)，由a5，a3，a4成等差数列，得2a3＝a5＋a4，即2a1q2＝a1q4＋a1q3，由a1≠0，q≠0得q2＋q－2＝0，解得q1＝－2，q2＝1(舍去)，所以q＝－2.(2)证明法一对任意k∈N＋，Sk＋2＋Sk＋1－2Sk＝(Sk＋2－Sk)＋(Sk＋1－Sk)＝ak＋1＋ak＋2＋ak＋1＝2ak＋1＋ak＋1·(－2)＝0，所以，对任意k∈N＋，Sk＋2，Sk，Sk＋1成等差数列

7、．等差数列的判定方法有以下四种：(1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N+)；(2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N+)；(3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N+)；(4)前n项和公式法：Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．但如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大项和最小项，并说明理由．(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．[审题视点]第(1)问建立首项a1与公差d的方程组求

8、解；第(2)问建立首项a1与公差d的方程，利用完全平方公式求范围．考向二　等差数列基本量的求解【例2】►设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn，满足S5S6＋15＝0.(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换