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1、高阶线性微分方程第六节二、线性齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法一、二阶线性微分方程举例第七章8/5/2021同济版高等数学课件一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.8/
2、5/2021同济版高等数学课件据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:8/5/2021同济版高等数学课件求电容器两两极板间电压例2.联组成的电路,其中R,L,C为常数,所满足的微分方程.解:设电路中电流为i(t),的电量为q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻R,自感L,电容C和电源E串极板上在闭合回路中,所有支路上的电压降为0‖~8/5/2021同济版高等数学课件串联电路的振荡方程:化为关于的方程:故有‖~如果电容器充电后撤去电源(E=0)
3、,则得8/5/2021同济版高等数学课件n阶线性微分方程的一般形式为方程的共性(二阶线性微分方程)例1例2—可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y8/5/2021同济版高等数学课件证毕二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理1.8/5/2021同济版高等数学课件说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性
4、无关概念.8/5/2021同济版高等数学课件定义:是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数8/5/2021同济版高等数学课件两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关8/5/2021同济版高等数学课件定理2.是二阶线性齐次
5、方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论.是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为则8/5/2021同济版高等数学课件三、线性非齐次方程解的结构是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理3.则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①8/5/2021同济版高等数学课件是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.8/5/2021同济版高等数学课件定理4.分别是方程的特解,是方程的
6、特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.8/5/2021同济版高等数学课件定理5.是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解8/5/2021同济版高等数学课件常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例3.提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)8/5/2021同济版高等数学课件例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关
7、,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三8/5/2021同济版高等数学课件*四、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为代入原方程确定对二阶非齐次方程情形1.已知对应齐次方程通解:设③的解为③由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:④8/5/2021同济版高等数学课件⑤令于是将以上结果代入方程③:得⑥故⑤,⑥的系数行列式是对应齐次方程的解P108/5/2021同济版高等数学课件积分得:代入③即得非齐次方程的通解:于是得说明:将③的解设为只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件,方程⑤的引入是为了简化
8、计算.方程3方程③,8/5/2021同济版高等数学课件情形2.仅知③的齐次方程的一个非零特解代入③化简得设其通解为积分得(一阶线性方程)由此得原方程③的通解:方程3③8/5/2021同济版高等数学课件例5.的通解为的通解
