资源描述：
《D7_6高阶微分方程.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、可降阶高阶微分方程机动目录上页下页返回结束第六节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程一、令因此即同理可得依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.型的微分方程机动目录上页下页返回结束例6.1求微分方程的通解.解：对所给方程两端依次积分三次，可得其中C1,C2,C3为任意常数.例6.2求微分方程满足下列初值条件的解.解：将所给方程积分一次，可得其中C1为任意常数.由得C1=0,从而再积分一次，得其中C2为任意常数.由得C2=0,于是所求特解为例.解:机动目录上页下页返回结束型的微分方程设原方程化为一阶方程设其通解为则得再一次积分,得原方程的通解二、机动目录上页下页返回结束例6
2、.3求方程满足下列初值条件的解.解：令带入所给方程得用分离变量法解得其中C1为任意常数.由得C1=3,从而其中C2为任意常数.由得C2=1,故所求特解为例6.4鱼雷攻击问题.某敌舰在某海域内沿正北方向航行时，我方战舰位于敌舰的正西方向1海里处，我舰发现敌舰后立刻发射鱼雷.敌舰以常速度v逃逸，鱼雷始终指向敌舰，追击速度为敌舰速度的2倍.问敌舰逃出多远时将被击毁？解：以我舰的初始位置为坐标原点(0,0),敌舰的初始位置为点A(1,0)，建立直角坐标系，如图,设鱼雷的轨迹方程为y=y(x)，则其满足初始条件在时刻t鱼雷的位置是P(x,y)，敌舰的位置是Q(1,vt).依题意，点Q应位于轨迹y(
3、x)过点P的切线上.该切线的方程为而鱼雷在t时刻已走过的距离为上述两个方程联立消去vt得两端关于x求导得这是鱼雷运动轨迹所满足的微分方程.此方程不显含y,令代入上述方程得分离变量后积分并利用初始条件有上述两式相减并将p=y'代入，得到两端积分，并利用初始条件有这就是鱼雷追击敌舰的运动轨迹方程.因当鱼雷击中敌舰时，其横坐标x=1,代入上述方程得纵坐标y=2/3,即敌舰逃至距离点A(1,0)正北2/3海里处时将被鱼雷击毁.例.求解解:代入方程得分离变量积分得利用于是有两端再积分得利用因此所求特解为机动目录上页下页返回结束对于型方程(n≥2)，可以令得如果能求出其通解逐次积分n-1次，就可得到
4、原方程的通解其中C1,C2...,Cn为任意常数.三、型的微分方程令故方程化为设其通解为即得分离变量后积分,得原方程的通解机动目录上页下页返回结束例6.5求解代入方程得两端积分得(一阶线性齐次方程)故所求通解为解:机动目录上页下页返回结束例6.6绳索仅受重力作用而下垂,解:取坐标系如图.考察最低点A到(:密度,s:弧长)弧段重力大小按静力平衡条件,有故有设有一均匀,柔软的绳索,两端固定,问该绳索的平衡状态是怎样的曲线?任意点M(x,y)弧段的受力情况:A点受水平张力HM点受切向张力T两式相除得机动目录上页下页返回结束则得定解问题:原方程化为两端积分得则有两端积分得故所求绳索的形状为悬链
5、线机动目录上页下页返回结束例6.7求的通解.解：此方程无法解出可引入参数t，令则其中C1,C2为任意常数.两端再积分可得参数形式的解为例.解初值问题解:令代入方程得积分得利用初始条件,根据积分得故所求特解为得机动目录上页下页返回结束(A)1(1),(4),(8);2(3);作业习题7.6第七节目录上页下页返回结束
