高数3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性课件.ppt

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1、第四节函数的单调性与曲线的凹凸性第三章三、小结与思考练习二、函数的凹凸性及拐点一、函数单调性的判定法7/28/20211一、函数单调性的判定法7/28/202121.利用导数来判定函数的单调性7/28/20213解：单调区间为7/28/20214基本步骤：（1）确定定义区间；（2）求函数f(x)的导数；（3）找出驻点（导数为零的点）和导数不存在点；（4）以驻点和导数不存在点为分界点，把定义区间分成若干个小区间，并讨论在这些小区间上，导数的符号，进而确定单调区间。7/28/202152.利用导数来证明不等式证

2、明：令则7/28/202163.利用导数来证明方程根的唯一性提示：令7/28/20217二、函数的凹凸性及拐点1、曲线凹凸的定义显然，曲线AB与BC都是单调增加的，但它们单调增加的变化方式却有所不同。这说明：仅靠单调性来描述曲线的性态是不够的。为此，我们有必要研究一下曲线的弯曲方向问题。7/28/20218图形上任意弧段都位于所张弦的下方于是上式变为x7/28/20219直接利用定义来判别曲线的凹凸性是比较困难的，下面利用二阶导数来判别曲线的凹凸性．7/28/2021102、曲线凹凸性的判定（证明略）7/2

3、8/2021113、拐点的定义7/28/202112解：凹的凸的凹的拐点拐点7/28/2021134、利用凹凸性来证明一些不等式本题思路：7/28/2021141.函数单调性的判别法（定理1）内容小结（1）会利用导数来判定函数的单调性（2）会利用导数来证明一些不等式（3）利用导数来证明方程根的唯一性2.函数凹凸性的定义3.函数凹凸性的判别定理（定理2）（1）拐点的定义（会求拐点和凹凸区间）（2）会利用凹凸性来证明一些不等式7/28/202115习题3-42(5);3（2）；5（1、2）；8作业思考练习答案：

4、不能断定.例如，7/28/202116但当时，当时，注意可以任意大，故在点的任何邻域内，都不单调递增．7/28/2021177/28/202118考研真题提示：7/28/202119提示：7/28/202120