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《同济第3版-高数-(3.4) 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中国药科大学数学教研室杨访第四节函数的单调性与曲线的凹凸性本节概要函数单调性定义是由几何直观给出的，但这一定义却不便用来判别给定函数是否单调，因此还必须研究判别函数单调性的方法。仅通过函数单调性还不足以了解曲线的性状，认识曲线性状还必需了解曲线的凹凸性。(1)函数单调性定义的改进设函数f(x)的定义域为D，区间ID.如果对于区间I上的任意两点x1、x2，当x1f(x2)，则称f(x)在区间I上单调减
2、小。由于要求x1、x2必须是任意的，故直接按此定义验证不等式f(x1)f(x2)是困难的。因此，函数单调性的定义通常并不能提供判别函数单调性的一般方法。一.函数单调性判别法为判别给定函数单调性，可考虑将定义改写成：f(x2)-f(x1)>0或f(x2)-f(x1)<0，x2-x1>0.于是有关函数单调性的考察转化为函数增量符号的判别。由拉格朗日中值定理，函数增量可表为：y=f(x2)-f(x1)=f()(x2-x1).由于x2-x1>0，故y与f()同号，于是函数增量符号的讨论可归结为导数符号的讨论
3、。函数单调性与导数符号的关系由上分析有如下函数单调性判别法:设函数在y=f(x)闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则如果在(a,b)内有f(x)>0，那末f(x)在[a,b]上单调增加；如果在(a,b)内有f(x)<0，那末f(x)在[a,b]上单调减小。从几何直观容易看出，如果将该判别法中的闭区间[a,b]换成其它形式的区间，且在相应的区间内的有限个点处有f(x)=0，结论仍然是正确的。(2)函数的单调性判别法(3)函数的单调区间一般而言，给定函数y=f(x)，xID在所论区间I上未必总是可导的，在其可导区间
4、上也未必总是单调的，但通常应是这样的情形：即函数y=f(x)在所论区间I的某些子区间上是单调增加，而在另一些子区间上又是单调减小的，这就是所谓函数的单调区间的概念。讨论函数的单调性实际是确定函数的单调区间。对初等函数而言，其不可导点一般是某些孤立点，因此可通过导数的保号区间来确定函数的单调区间。确定导数保号区间的关键是确定保号区间分界点，即确定导函数的零点及导数不存在的点。对于给定函数y=f(x),x[a,b]，确定其在区间[a,b]上的单调性可按如下步骤进行：计算导数f(x)；确定导数不存在的点及导数零点x1,x2,…,xk.用x
5、i将区间(a,b)分割为若干个子区间(xi-1,xi)；确定f(x)在各子区间(xi-1,xi)上的符号及所论函数y=f(x)相应的单调性。(4)函数单调性的应用例：求函数的单调区间。由导数保号区间确定函数单调区间解计算导数f(x)确定函数的单调区间求导数零点及导数不存在的点求得导数零点为：对函数f(x)，导数f(x)不存在的点就是其分母零点，故求得导数不存在的点为：确定函数的单调区间用x1,x2,x3分割函数f(x)的定义域(-,+),以确定导数f(x)的保号区间。列表讨论各保号区间上f(x)的符号，以确定函数在各保号区
6、间上的单调性不存在不存在不等式证明通常比较困难，其原因在于证明不等式的方法虽很多，但各种方法通常都不具一般性。在拉格郎日中值定理的讨论中建立了一种证明不等式的方法，但该方法要求所证不等式能写成某个函数的增量的形式，因而也不够一般性。利用函数的单调性，可建立一种不等式证明的较一般的方法。其基本原理是：先将所证不等式写成f(x)0，x[a,b]，设法证明以下两点：①f(a)=0，②当x(a,b)时，f(x)>0.证明不等式利用函数单调性证明不等式原理因为当x(a,b)时，f(x)>0.故f(x)在[a,b]上单调增。又f(a)=
7、0，故当x[a,b]时,f(x)>f(a)=0.例：试证，当x0时，这是个函数不等式证明问题，由于所证不等式难以表示成某函数增量的形式，因而不适于用拉格朗日中值定理进行证明。为此考虑按一般方法证明该不等式，即将此不等式看成形如f(x)0,x[0,+)的形式，并设法利用函数的单调性进行证明。分析利用函数单调性进行证明证由所证不等式构造辅助函数并验证其单调性为避免进行商的导数计算，构造如下辅助函数f(x)=(1+x)ln(1+x)-arctanx，x[0,+).因为当x(0,+)时，f(x)=[(1+x)ln(1+x)-
8、arctanx]所以f(x)在[0,+)上单调增加。计算f(0)并导所证不等式因为f(0)=(1+0)ln(1+0)-arctan0=0，而f(x)在[0,+)上单调增加，故当x0,+)时有f(x
