同济大学高数 第四节 函数的单调性凹凸性课件.ppt

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1、第三章微分中值定理和导数的应用第四节函数的单调性与曲线的凹凸性单调性的判别法定理设函数在上连续,在内可导(1)则函数在上单调增加;(2)则函数在上单调减少;内若在内若在例1讨论函数的单调性.1:一个区间上的单调性要用导数在区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别2：函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调．注意：问题:如何确定函数在定义域内各部分区间上函数的单调性.定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.例2讨论函数的单调区间.注意区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如，但是上单调

2、增加.例3确定函数的单调区间.例4试证明：当时，例5证明时,成立不等式证明例6证明方程两个实根.在区间内有判断对错1区间内若有点导数为零,左右区间的单调性会改变.3单调函数的导函数仍是单调函数例7问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于所张弦的上方图形上任意弧段位于所张弦的下方ABMN定义设在区间内连续,若对上任意两点恒有则称在上的图形是凹的.若对上任意两点恒有则称在上的图形是凸的.定理2设在上连续,在内具有二阶导数,若在内(1)则在上的图形是凹的;(2)则在上的图形是凸的.问题:如何确定函数的凹凸区间？定义:若函数图像在其定义域的

3、某个区间内是凹的,则该区间称为函数的凹区间.的凸区间.类似可以定义函数凹区间、凸区间合称为凹凸区间.例8判定的凹凸性.例9判断曲线的凹凸性.定义注1:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的步骤为:(1)(2)并求出使不存在的点;(3)检查其邻近左、右两侧二阶导数的符号,确定曲线的凹凸区间和拐点.求函数的二阶导数解出全部实根,令对步骤(2)中求出的每一个点,例10求曲线的拐点及凹、凸的区间.例11求函数的凹凸区间及拐点.