高教五版高数(经济类)极限运算随堂讲义课件.ppt

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1、1.5极限运算法则第一章（TechniquesforFindingLimits）三、函数极限的四则运算法则一、数列极限的四则运算五、复合函数的极限运算法则二、数列极限的性质四、函数极限的性质20九月20211一、数列极限的四则运算法则则有定理1若注意：定理1中的（1）、（2）可推广到有限个收敛数列的情形.例如，则有特别地，(4)为偶数时，20九月20212应用上面的定理1，我们可以从一些已知的简单数列极限，求出一些较复杂的数列极限．例1求数列当趋于无穷大时的极限．解由于故．20九月20213解:原式例2（补充题）20九月20214二、收敛数列的性质1.收敛数列的极限

2、唯一.(Uniqueness)定理2(唯一性)2.收敛数列一定有界.(Roundedness)定理3(有界性)即若数列收敛，则其极限是唯一的．即若数列收敛，则一定有界．则称一定有界．例如,数列等都是有界的，推论无界数列必定发散．20九月20215说明:定理3反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列若且时,有定理4.收敛数列的保号性.(Sign-preservingProperty)20九月20216*********************证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明********************

3、*4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.20九月20217三、函数极限的四则运算法则定理5若（１）（２）（３）（４）说明:定理2中的（1）、（2）可推广到有限个函数相乘的情形.推论1(C为常数)推论2(n为正整数)20九月20218．例4解求==例3求解:20九月20219对于有理整函数（多项式）我们指出，或有理分式函数其中都是多项式，且要求其当时的极限，只要把代入函中即可；但对于有理分式函数，如果代入后，分母等于零，则没有意义，不能通过直接代入的方法求极限．事实上，设多项式则20九月202110又设有理分式函数其中都是多项式，于是，如果则如果则不能直接用商的运算

4、法则，那就需要特别考虑．20九月202111例4求．解于是不能采取分子、分母分别取极限的方法．将函数的分子有理化，得由于所以=20九月202112例5解:当时，括号内两式的分母均趋于0，于是不能直接应用四则运算法则来计算。将函数变形得，所以，20九月202113解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式例6求20九月202114解:时,分子分子分母同除以则分母“抓大头”原式例7求20九月202115例8解:由例7相同的方法得，而函数与函数互为倒数，所以，20九月202116为非负常数)一般有如下结果：20九月202117四、函数极限的性质定理6(函数极限的唯一性

5、）定理7(函数极限的局部有界性)20九月202118若且A>0,则存在(A<0)定理8（函数极限的局部保号性）20九月202119五、复合函数的极限运算法则定理9设且x满足时,又则有说明:若定理中则类似可得20九月202120例9求解作变量代换则时，于是原式化为20九月202121解:令已知例10求∴原式=（补充题）20九月202122解:方法1则令∴原式方法2（补充题）例11求20九月202123内容小结1.极限运算法则(1)数列和函数极限的四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.数列极限的性质(唯一性,有界性,保号性)3.求函数极限的方法(1)分式

6、函数极限求法时,用代入法(分母不为0)时,对型,约去公因子时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量20九月202124课后练习习题1-51单数题2单数题45思考与练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.问20九月202125解法1原式=解法2令则原式=2.求20九月202126解:令则故因此3.试确定常数a使20九月202127解:利用前一极限式可令再利用后一极限式,得可见是多项式,且求故4.设20九月202128