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《高教五版高数(经济类)二阶常系数线性微分方程随堂讲义》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、23七月20211第三节二阶常系数线性微分方程第八章一、线性微分方程解的结构四、小结与思考练习二、二阶常系数齐次线性微分方程的求解三、二阶常系数非齐次线性微分方程求解23七月20212一、二阶线性微分方程举例当重力与弹性力抵消时,物体处于平衡状态,例1质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻t物位移为x(t).(1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.23
2、七月20213据牛顿第二定律得阻力即这就是在有阻尼的情况下，描述物体自由振动的方程。(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:23七月20214可以看出，自由振动和强迫振动的微分方程都是二阶微分方程而且未知函数及其各阶导数都是一次幂的，我们把这种方程称为二阶线性微分方程。其一般形式可表示为n阶线性微分方程的一般形式为时,称为非齐次的方程时,称为齐次的方程.23七月20215证毕二、线性微分方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证:代入方程左边,得(叠加原理)定理123七月20216不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二
3、阶齐次方程的解,也是齐次方程的解并不是通解但是则为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与线性无关概念.说明:23七月20217是定义在区间I上的n个函数,使得则称这n个函数在I上线性相关,否则称为线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间I上都线性相关;又如，若在某区间I上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为0,可见在任何区间I上都线性无关.若存在不全为0的常数定义23七月20218线性相关存在不全为0的使(无妨设线性无关常数思考:中有一个恒为0,则必线性相关(证明略)线性无关两个函数在区间I上线性相关与线性无关的充要条件:23七月2021
4、9是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,则数)是该方程的通解.例如,方程有特解且常数,故方程的通解为推论是n阶齐次方程的n个线性无关解,则方程的通解为定理223七月202110是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,则是非齐次方程的通解.证:将代入方程①左端,得②①定理323七月202111是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而②也是通解.23七月202112分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4均可推广到n阶线性非齐次方程.定理423七月20
5、2113例如，是对应齐次方程的n个线性无关特解,给定n阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解23七月202114设函数都是二阶非齐次线性方程定理5的解,则必为原方程对应齐次线性方程的特解。提示：设三、非齐次线性方程与其对应齐次方程解的关系23七月202115内容小结1.二阶线性微分方程的概念2.二阶线性微分方程的解的结构3.非齐次线性方程其对应齐次方程解的关系23七月202116思考练习则该方程的通解是().1.设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意常数,提示:都是对应齐次方程的解且线性无关.(反证法可证)23
6、七月2021172.常系数齐次线性微分方程第八章(Constantcoefficienthomogeneouslineardifferentialequation)一、常系数齐次线性微分方程定义二、常系数齐次线性方程解法三、小结与思考练习23七月202118一、常系数齐次线性微分方程定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式n阶常系数线性微分方程的标准形式23七月202119二、二阶常系数齐次线性方程解法基本思路:求解常系数线性齐次微分方程求特征方程(代数方程)之根转化23七月202120和它的导数只差常数因子,代入①得称②为微分方程①
7、的特征方程,1.当时,②有两个相异实根方程有两个线性无关的特解:因此方程的通解为(r为待定常数),①所以令①的解为②则微分其根称为特征根.二阶常系数齐次线性微分方程:23七月202121时,特征方程有两个相等实根则微分方程有一个特解设另一特解(u(x)待定)代入方程得:是特征方程的重根取u=x,则得因此原方程的通解为2.当23七月202122时,特征方程有一对共轭复根这时原方程有两个复数解:利用解的叠加原理,得原方程的线性无关特解:因此原方程的通解为3.当23七月202123特征方程:特征根通解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.小结：23七月202124的通
8、解.解:特
