高教五版高数(经济类)定积分的应用随堂讲义课件.ppt

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1、第五节定积分的应用第五章二、体积一、平面图形的面积三、思考与练习03九月20211一、平面图形的面积03九月2021203九月2021303九月2021403九月2021503九月20216故所求的面积为03九月2021703九月2021803九月20219解如图所示，因为椭圆图形关于两个坐标轴都是对称的，所以整个椭圆面积应为位于第一象限内面积的4倍.即03九月202110二、定积分的元素法1.什么问题可以用定积分解决?表示为1)所求量U是与区间[a,b]上的某分布f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“大化小,常代变,近

2、似和,取极限”定积分定义一个整体量;03九月202111第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式这种分析方法成为元素法(或微元分析法)元素的几何形状常取为:条,带,段,环,扇,片,壳等近似值精确值2.如何应用定积分解决问题?03九月202112一、平面图形的面积03九月20211303九月20211403九月202115解:利用对称性,所围图形的面积.有利用椭圆的参数方程应用定积分换元法得当a=b时得圆面积公式例3求椭圆03九月202116求由曲线及围成的曲边扇形的面积.在

3、区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为所求曲边扇形的面积为03九月20211703九月202118设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为因此所求立体体积为上连续,2.平行截面面积为已知的立体的体积03九月202119轴旋转一周围成的立体体积时,特别,当考虑连续曲线段有当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有03九月202120所围图形绕x轴旋转而转而成的椭球体的体积.（注意：课本例6是“绕y轴旋转”）解:方法1利用直角坐标方程则(利用对称性)例5计算由椭圆03九月202121则特别当b

4、=a时,就得半径为a的球体的体积方法2利用椭圆参数方程03九月202122并与底面交成角,解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.例6一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,03九月202123此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积?提示:思考:可否选择y作积分变量?这就是课本中给出的解法！03九月202124垂直x轴的截面是椭圆所围立体(椭球体)解:它的面积为因此椭球体体积为特别当a=b=c时就是球体体积.的体积.（补充题）例7计算由曲面03九月202125

5、内容小结1.掌握定积分的元素法，并会应用元素法来解决一些几何和物理方面的问题。2.定积分几何学上的应用（1）平面图形面积（直角坐标系、极坐标和参数方程）（2）平行截面面积为已知的立体的体积（含旋转体）03九月202126课外练习习题5－5思考练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积A及边界长s.提示:交点为弧线段部分直线段部分以x为积分变量,则要分两段积分,故以y为积分变量.03九月202127与x轴围成的封闭图形绕直线y＝3旋转得的旋转体体积.（94考研）解:利用对称性,故旋转体体积为在第一象限2.求曲线03九月202128