工程力学(经典)第十二章 弯曲应力课件.ppt

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1、§12-1梁弯曲时的正应力§12-2惯性矩的计算§12-3梁弯曲时的强度计算§12-4梁弯曲时的切应力§12-5提高弯曲强度的措施第十二章弯曲应力梁横截面上与弯矩M对应，与剪力F对应。纯弯曲(purebending)━━梁或梁上的某段内各横截面上无剪力而只有弯矩，横截面上只有与弯矩对应的正应力。12-1梁弯曲时的正应力MeMe一、弯曲分类横力弯曲(bendingbytransverseforce)━━梁横截面上既有弯矩又有剪力；相应的，横截面既有正应力又有切应力。二、纯弯曲时的正应力计算公式的推导(1)几何关系━━变形与应变观察在竖直平面内发生纯弯曲的梁，研究其表面变形情况

2、<1>.弯曲前画在梁的侧面上相邻横向线mm和nn间的纵向直线段aa和bb，在梁弯曲后成为弧线，靠近梁的顶面的线段aa缩短，而靠近梁的底面的线段bb则伸长；<2>.相邻横向线mm和nn，在梁弯曲后仍为直线，只是相对旋转了一个角度，且与弧线aa和bb保持正交。根据表面变形情况，并设想梁的侧面上的横向线mm和nn是梁的横截面与侧表面的交线，可作出如下推论(假设)：平面假设梁在纯弯曲时，其原来的横截面仍保持为平面，只是绕垂直于弯曲平面(纵向平面)的某一轴转动，转动后的横截面与梁弯曲后的轴线保持正交。此假设已为弹性力学的理论分析结果所证实。横截面的转动使梁凹入一侧的纵向线缩短，凸出一

3、侧的纵向线伸长，从而根据变形的连续性可知，中间必有一层纵向线只弯曲而无长度改变的中性层(图f)，而中性层与横截面的交线就是梁弯曲时横截面绕着它转动的轴━━中性轴(neutralaxis)。（f)令中性层的半径为r(如图c)，则有〈3〉纵向线应变在横截面范围内的变化规律图c为由相距dx的两横截面取出的梁段在梁弯曲后的情况，两个原来平行的横截面绕中性轴相对转动了角dq。梁的横截面上距中性轴z为任意距离y处的纵向线应变由图c可知为(c)(2)物理关系━━力与变形（应力、应变）梁的材料在线弹性范围内工作（胡克定律），且拉、压弹性模量相同时，有这表明，直梁的横截面上的正应力沿垂直于中

4、性轴的方向按线性规律变化M即梁在纯弯曲时，其横截面上任一点处的纵向线应变e与该点至中性轴的距离y成正比。(3)静力学关系━━应力与内力。梁的横截面上与正应力相应的法向内力元素sdA(图d)不可能组成轴力()，也不可能组成对于与中性轴垂直的y轴(弯曲平面内的轴)的内力偶矩()，只能组成对于中性轴z的内力偶矩，即(d)将代入上述三个静力学条件，有(a)(b)(c)以上三式中的Sz，Iyz，Iz都是只与截面的形状和尺寸相关的几何量，属于截面的几何性质，而其中为截面对于z轴的静矩(staticmomentofanarea)或一次矩（形心计算公式），其单位为m3。为截面对于y轴和z轴

5、的惯性积，其单位为m4。为截面对于z轴的惯性矩(momentofineritaofanarea)或二次轴矩，其单位为m4。由于式(a)，(b)中的不可能等于零，因而该两式要求：1.横截面对于中性轴z的静矩等于零，；显然这是要求中性轴z通过横截面的形心；2.横截面对于y轴和z轴的惯性积等于零，；在对称弯曲情况下，y轴为横截面的对称轴，因而这一条件自动满足。(a)(b)(c)由式(c)可知，直梁纯弯曲时中性层的曲率为上式中的EIz称为梁的抗弯刚度（对Z轴）。显然，由于纯弯曲时，梁的横截面上的弯矩M不随截面位置变化。将上式代入得出的式子即得弯曲正应力计算公式：(c)应用此式时，如

6、果如图中那样取y轴向下为正的坐标系来定义式中y的正负，则在弯矩M按以前的规定确定其正负的情况下，所得正应力的正负自动表示拉应力或压应力。但实际应用中往往直接根据横截面上弯矩的转向及求正应力之点在中性轴的哪一侧来判别弯曲正应力为拉应力还是压应力；在此情况下可以把式中的y看作求应力的点离中性轴z的距离。中性轴z为横截面对称轴的梁(图a，b)其横截面上最大拉应力和最大压应力的值相等；中性轴z不是横截面对称轴的梁(图c)，其横截面上的最大拉应力和最大压应力的值不相等。dzyo(b)yc,maxyt,maxyzbd1hOd2(c)hbzyo(a)中性轴z为横截面的对称轴时，横截面上最

7、大拉、压应力的值smax为式中，Wz为截面的几何性质，称为弯曲截面系数（对Z轴）(sectionmodulusinbending)，其单位为m3。hbzyodzyo中性轴z不是横截面的对称轴时(参见图c)，其横截面上最大拉应力值和最大压应力值为(1)矩形截面简单截面对于形心轴的惯性矩和弯曲截面系数思考:一长边宽度为b，高为h的平行四边形，它对于形心轴z的惯性矩是否也是？(2)圆截面在等直圆杆扭转问题中已求得：zoyyzdA而由图可见，ρ2=y2+z2,从而知而弯曲截面系数为根据对称性可知，原截面对于形心轴z和y的惯