贝努利不等式在高考中的应用.doc

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1、贝努利不等式在高考中的应用贝努利不等式：对任意正整数n≥0，和任意实数x≥-1，有成立；如果n≥0且为偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n=0,1，或x=0时等号成立，而对任意正整数n≥2和任意实数x≥-1且x≠0，有严格不等式：＞1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：若m≤0或m≥1，有≥1+mx；若0≤m≤1，有≤1+mx证明方法如下：如果m=0，1，则结论是显然的　　如果m≠0，1，作辅助函数,那么,则x=0;　　下面分情况讨论：　　1.00，<0；对于−10。因此在x=0处取最大值0，故得≤1+mx。　2.m<0或m>1，则对于x>0

2、，>0；对于−1-1，n为正整数)．①注不等式①中的条件“n为正整数”可推广为“n为大于l的实数”，推论1设n∈N+，，n>l，t>0，则有≥1+n(t一1)，②当且仅当t=l时，②取等号．②的证明可由恒等式③直接推出．易见，当且仅当t=1时，②取等号，因此当且仅当x=0时，①取等号．在①中令x+l=t，则①可变为②或③,因此不等式①与②是等价的．因此不等式①与②都可以称为贝努利不等式．推论2设>0，n∈N+，n>1，则,④当且仅当时，④取等号．证明由②得，例题精讲1.（2007，湖北理5）已知和

3、是两个不相等的正整数，且，则（C）A．0B．1C．D．解答：由于所以令，分别取和，则原式化为所以原式=（分子、分母1的个数分别为个、个）法二：根据贝努利不等式可知当时，=1+mx，故对于此题有当有，所以2.（2007，湖北理21）已知为正整数，（1）用数学归纳法证明：当时，；（2）对于，已知，求证，求证，；（3）求出满足等式的所有正整数．解法1：（1）证：用数学归纳法证明：（ⅰ）当时，原不等式成立；当时，左边，右边，因为，所以左边右边，原不等式成立；（ⅱ）假设当时，不等式成立，即，则当时，，，于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数，不等式都

4、成立．（2）证：当时，由（Ⅰ）得，于是，．（3）解：由（Ⅱ）知，当时，，．即．即当时，不存在满足该等式的正整数．故只需要讨论的情形：当时，，等式不成立；当时，，等式成立；当时，，等式成立；当时，为偶数，而为奇数，故，等式不成立；当时，同的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有．解法2：（1）证：当或时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：当，且时，，．　　①①当时，左边，右边，因为，所以，即左边右边，不等式①成立；②假设当时，不等式①成立，即，则当时，因为，所以．又因为，所以．于是在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式①也成立．综上所述，所证不等式成立．（2）证：当，时，

5、，，而由（1），，．（3）解：假设存在正整数使等式成立，即有．　　　　　②又由（2）可得，与②式矛盾．故当时，不存在满足该等式的正整数．下同解法1．3.（2001，全国理20)已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n(1)证明nipim＜mipin；(2)证明(1+m)n>(1+n)m证明:(1)略(2)因为1＜m＜n,>1,由贝努利不等式有,所以(1+m)n>(1+n)m4.(2007,四川理22）设函数.(1)当x=6时,求的展开式中二项式系数最大的项;(2)对任意的实数x,证明＞(3)是否存在,使得an＜＜恒成立?若存在,试证明你的结论并求出a的值;若不存在,请说明理由.（1）解：

6、展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是（2）证法一：因为证法二：因而故只需对和进行比较。令，有由，得因为当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以在处有极小值故当时，，从而有，亦即故有恒成立。所以，原不等式成立。（3）对，且有又因，故∵，从而有成立，即存在，使得恒成立。5.(2003，江苏理)已知为正整数。（1）设，证明（2）设，对任意，证明。证明：（1）因为，所以（2）对函数求导数:即对任意法二：等价于>①对于x>1,因>0>-1，->-1由①得>，>两边同乘以有，所以②若，在②中分别取及则即得①式，所以若0<

7、8号参考文献I赵思林.贝努利不等式的螺旋式证明．中学数学研究(广州)，2008，62常国良.贝努利不等式的推广及证明．中学数学月刊，2008，2