伯努利不等式及其应用

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1、一元微分学部分第4页共4页2005年Bernoulli不等式及其应用席华昌(山西师大临汾学院数计系，山西省临汾市041000)摘要：使用均值不等式及实数的稠密性推证Bernoulli不等式，并将其应用于证明极限、连续、单调以及其它不等式和判别级数敛散性.关键词：Bernoulli不等式、极限、连续、单调、不等式、级数.中图分类号：O178众所周知，Bernoulli不等式在《数学分析》中占有非常重要的地位。本文由均值不等式及实数稠密性出发推导Bernoulli不等式，并举例说明其在分析中的一些巧妙之应用.一、Bernoulli不等式设r∈R+，且-1

2、(A)分析与证明先证明(1+x)r<1+rx,(00，取有理数列{rn}，使对任意自然数n，有r

3、x)r>1+rx(r>1).4一元微分学部分第4页共4页2005年当1+rx0时，(1+x)r>01+rx；当1+rx>0时，(1+rx)<1+rx=1+x,∴(1+x)r>1+rx.为应用方便，(A)式常常也写成：(AA)二、Bernoulli不等式的应用1、极限方面的应用例1求证(a>1,k>0均为常数).证明由于a>1,可记(>0)，则=所以，对，要使，只需，即，于是取N，则当n>N时，便有，即.注：本极限中k取不同值时可得不同的极限式。1、函数连续性方面的应用例2证明指数函数f(x)=ax(0

4、)x由于,所以由迫敛法则.又∴，即f(x)=ax在x=0处连续；再证f(x)=ax在R上连续对，有===所以f在x0处连续，由的任意性，f在R上连续。2、不等式方面的应用例3证明不等式.证明由于是单增趋于e的数列，从而，于是4一元微分学部分第4页共4页2005年,因此，只需证明成立即可.当n=1时，显然;设n=k时，有k!<成立，两端同乘(k+1)，得(k+1)!<(k+1)=……◆又有代入◆式，有(k+1)!<由数学归纳法知(n∈N)成立.∴n!.1、单调性方面的应用例4讨论函数的单调性.分析与解①讨论函数令由（A）式得：两边同时x2次方.即,∴函数在（0，∞

5、）上严格增.②论函数令由（A）式得，两边同时x2+1次方.从而，即,∴函数在（0，∞）上严格减.注：这两个函数的单调性还可以利用导数进行讨论，上面使用这种方法也适用于讨论数列与的单调性.2、级数敛散性方面的应用例5判断级数的敛散性.4一元微分学部分第4页共4页2005年解记.则.由达朗贝尔判别法，级数收敛.注：该级数更一般的形式是：讨论函数项级数的敛散性.由上面几方面的应用可以看出：在解决一些数学问题时，若能充分考虑到Bernoulli不等式的特点及其变形，便能达到妙题巧解，出奇制胜之效果.参考资料1、数学分析纪乐刚2、数学分析经典习题解析孙涛附：041000山

6、西师大临汾学院数计系副教授席华昌xhc62@126.com13096520248地址临汾市尧都区鼓楼南18号本文发表于高等数学研究,2005,4(8):42-44.并列入高等数学研究论文范例被以下四篇论文引用：也谈Bernoulli不等式的证明与应用《高等数学研究》2006年第6期 作者：苏灿荣 禹春福合肥工业大学贝努利不等式的高阶推广和数值验证《内江师范学院学报》2007年第6期 作者：石勇国 陈志强 吕晓亚内江师范学院Bernoulli不等式的控制证明及推广《北京联合大学学报：自然科学版》2008年第2期 作者：石焕南北京联合大学教授分数布朗运动的局部时及相

7、关过程的随机分析《华东理工大学》 2012年陈超 博士论文 4