伯努利不等式.doc

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1、伯努利不等式基本概念　　数学中的伯努利不等式是说：对任意整数n≥0，和任意实数x≥-1，　　有(1+x)^n≥1+nx成立；　　如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x成立。　　可以看到在n=0,1，或x=0时等号成立，而对任意正整数n≥2和任意实数x≥-1，x≠0，有　　严格不等式：　　(1+x)^n＞1+nx。　　伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。证明　　设x＞-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)^n≥1+nx.　　证明:　　用数学归纳法:　　当n=1,上个式子成立,　　设对n-1,有:　　(1+x)^(n-1)>=1+(n-1)x成立,　　则　　(1+x)^n　　

2、=(1+x)^(n-1)(1+x)　　>=[1+(n-1)x](1+x)　　=1+(n-1)x+x+(n-1)x^2　　>=1+nx　　就是对一切的自然数,当　　x>=-1,有　　(1+x)^n>=1+nx　　下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：　　若r≤0或r≥1，有(1+x)^r≥1+rx　　若0≤r≤1，有(1+x)^r≤1+rx　　这个不等式可以直接通过微分进行证明，方法如下：　　如果r=0，1，则结论是显然的　　如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)^r-(1+rx),那么f'(x)=r*(1+x)^(r-1)-r,则f'(x)=0<==>x=0;　　下面分情况讨论：　　1

3、.00，f'(x)<0；对于−10。因此f(x)在x=0处取最大值0，故得(1+x)^r≤1+rx。　　2.r<0或r>1，则对于x>0，f'(x)>0；对于−1