伯努利不等式证明.doc

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1、伯努利不等式：设x>-1,且x≠0,n是不小于2的整数,则(1+x)n≥1+nx.证明:先证明对所有正整数不等式成立。用数学归纳法：当n=1,上个式子成立,设对n-1,有:(1+x)n-1≥1+(n-1)x成立,则(1+x)n=(1+x)n-1(1+x)≥[1+(n-1)x](1+x)=1+(n-1)x+x+(n-1)x2=1+nx+nx2-x2≥1+nx就是对一切的自然数,当x≥-1,有(1+x)n≥1+nx下面把伯努利不等式推广到实数幂形式：若r≤0或r≥1，有(1+x)r≥1+rx若0≤r≤1，有(1+x)r≤1+rx这个不等

2、式可以直接通过微分进行证明，方法如下：如果r=0，1，则结论是显然的如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)r-(1+rx),那么f'(x)=r*(1+x)r-1-r,则f'(x)=0↔x=0;下面分情况讨论：1.00，f'(x)<0；对于−10。严格递增，因此f(x)在x=0处取最大值0，故得(1+x)r≤1+rx。2.r<0或r>1，则对于x>0，f'(x)>0；对于−1