贝努利不等式在中学数学中的应用.doc

《贝努利不等式在中学数学中的应用.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、贝努利不等式在中学数学中的应用举例江西省都昌县第一中学数学中许多著名不等式，在中学中应用极为广泛，原因在于这些不等式本身具有高度的概括性，它反映出数量间的某种本质联系，使得许多表面很难求解的问题，通过化归，往往能借助于它们，可以收到意想不到的效果。现以贝努利不等式应用为例，作一点说明。贝努利不等式设x＞0,则(1)在0＜α＜1时，有xα≤1＋α(x－1),(2)在α＜0或α＞1时，有xα≥1＋α(x－1)。两个不等式中的等号仅当x＝1时成立。(3)α,λ＞0，n∈N*,n≥1,有αn≥nλn－1α

2、－(n－1)λn,当且仅当α＝λ时(3)取等号。推论1若且，则，当且仅当时等号成立推论2若且，则当且仅当时等号成立例1设是两个不等正数，则证先证∵同理可得:,∴·＞1∴再证(略)例2＞(n∈N)证暂由贝努利不等式知∴又＞∴即在时，不等式成立。如果，则＞1，于是即：∴＞0，且≠1时，原不等式成立。例3(第26届美国竞赛题)对任意正实数求证：.证明由(3)，得a3≥3b2a－2b3,b3≥3a2b－2a3,将上面两式相加，并整理得a3＋b3≥a2b＋ab2,从而a3＋b3＋abc≥a2b＋ab2＋ab

3、c,所以≤＝.同理≤，≤，三式相加，＋＋≤＋＋＝1所以例4(1990年日本IMO选拔题)设x,y,z＞0，且满足x＋y＋z＝1.求的最小值。分析引入正参数λ，由(3)得1＝12≥2(λx)·1－(λx)2，4＝22≥2(λx)·2－(λx)2，9＝32≥2(λx)·3－(λx)2，上面三式取等号的条件分别为1＝λx,2＝λy,3＝λz,又x＋y＋z＝1,所以取λ＝6.解由(3),得≥.所以当取最小值36。从不等式的结构形式上分析，可以看出，贝努利不等式给出了正数x的幂xα(α≠1)与x的一个一次式

4、之间的不等式关系。因此，一个问题如果能转化为xα与x一次式的不等关系，则大多能用贝努利不等式加以解决。例1（前苏联数学竞赛）求证：证当或中有一个为0时，不等式显然成立.当且时，由推论1，得以上两式相加，得.故.例2（《数学通报》问题819题）设均为锐角，且.求证：证由推论1，得即同理以上三式相加，得例3（《数学通报》问题794题）试证：当且仅当时取等号证原不等式等价于（1）显然，当时（1）式中等号成立，当是时，由推论2，得以上两式相加，得综上可知，（1）式成立，故原不等式成立.