5.3贝努利不等式

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1、《贝努利不等式》课后练习1．已知n为正整数，求证：(1－cosx)n≥(1－n)cosx.2.已知a>c>d>b>0，a+b=c+d，n为大于1的正整数,求证:an+bn>cn+dn.3.用贝努利不等式证明不等式：(1＋1)…>(n∈N*).4.设n为正整数,记an=1+1nn+1,n=1,2,3,….求证:an+1

2、1－n)cosx≥(1－n)cosx，∴(1－cosx)n≥(1－n)cosx.2.证明：设a=c+m,b=d-m,且m>0,于是(an+bn)-(cn+dn)=(c+m)n+(d-m)n-(cn+dn)=cn1+mcn+dn1-mdn-(cn+dn).①根据贝努利不等式,有1+mcn≥1+n·mc,②1-mdn≥1-n·md.③由①②③,可得(an+bn)-(cn+dn)≥cn1+n·mc+dn1-n·md-(cn+dn)=(cn-1-dn-1)nm>0,∴an+bn>cn+dn.3.证明：由贝努利不等式，得2>1＋2×.其中n＝2，x

3、＝(k∈N*)，即1＋>，则1＋1>，1＋>，1＋>，…，1＋>(n∈N*)，将上述各式两边分别相乘，得(1＋1)…>×××…×＝.∴(1＋1)…>(n∈N*)．4.分析：用求商比较法证明an+11,n=1,2,3,….由于anan+1=1+1nn+11+1n+1n+2=1+1n1+1n+1n+1·1+1n+1-1=(n+1)(n+1)n(n+2)n+1·n+1n+2=1+n(n+2)n(n+2)n+1·n+1n+2=1+1

4、n(n+2)n+1·n+1n+2,因此,根据贝努利不等式,有anan+1>1+(n+1)·1n(n+2)·n+1n+2>1+n+1n2+2n+1·n+1n+2=1+1n+1·n+1n+2=1.所以an>an+1对于一切正整数n都成立.反思感悟：在贝努利不等式(1+x)n≥1+nx中x∈R,且x≥-1,n∈N+.将待证不等式转化为贝努利不等式的形式是证明的关键.