贝努利不等式在高考中的应用

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1、贝努利不等式在高考中的应用贝努利不等式：对任意正整数心0,和任意实数XA1,有(1+兀)"ni+处成立；如果20且为偶数，则不等式对任意实数x成立。可以看到在n=0,l,或x=0时等号成立，而对任意正整数必2和任意实数空・1且x去0,有严格不等式：(l+xf>l+nx下而把伯努利不等式推广到实数幕形式：若mSO或m>1,有(l+x)/w>1+mx；若0

2、1+兀)心一加，则八兀)=00x=0;下面分情况讨论：1.00,f(%)<0；对于-1Oo因此/(兀)在x=0处取最大值0,故得(l+x)w<1+mx.,2.m<0或m>l,则对于x>0,/'(x)>0；对于一ll+mx《标准》所指的贝努利不等式是：(1+兀)"21+处(x>-l,n为正整数).①注不等式①中的条件“n为正整数”可推广为“n为大于1的实数”，推论1设nWN+,,n>l,t>0,则有严>

3、l+n(t-1),②当且仅当t=l时，②取等号.②的证明可由怛等式广—加+n—1=(/—l)?［/"~+2广‘3/"°+(/2—2)/+n—1］③直接推出.易见，当且仅当t=l时，②取等号，因此当且仅当x=0时，①取等号.在①中令x+l=t,则①可变为②或③，因此不等式①与②是等价的.因此不等式①与②都可以称为贝努利不等式.推论2设a,2>0,nEN+,n>l,则an>nX'~xa-(n-，④当且仅当a=A时，④取等号.证明由②得，an=X-yi>T1+/?(--1)=nXl-xa-(n-)XlAA例题精讲1.(

4、2007,湖北理5)己知〃和q是两个不相等的正整数，且q三2,则卩史A.0B.1C.—q解答：由于1+(1+对+(1+兀)2+(1+对3+D.0-19一1C)+(1+旷二1一(1+兀)"‘1—(1+兀)所以1一(1+兀二兀［1+(1+兀)+(1+兀)2+(1+兀)3+....+(1+兀)心］令兀二丄，加分别取#和g,则原式化为n1n1+‘1+丄］+「+…

5、别为八7个)法二：根据贝努利不等式可知当兀TO时，(1+X)m=l+mx,故对于此题有当HToo有(1+丄)"=1+占nn(i+丄丫=i+Znn(1+丄)〃-1i+£-i£所以lim—耳=lim—3—=lim&=£“》(1+丄)9_]心8]+纟_]n^qqnnn2.(2007,湖北理21)己知％〃为正整数，(1)用数学归纳法证明：当兀>—1时，(1+兀广$1+〃泾;(2)对于心6,已知(1一一-V兀+3丿(,求证1一m丫"(3)求出满足等式3"+4"+…+(/7+2)"=⑺+3)"的所有正整数n.解法1：(1)证：用

6、数学归纳法证明：(i)当加=1时，原不等式成立；当m=2B't,左边=l+2x+〒，右边=l+2x,因为甘上0,所以左边上右边，原不等式成立;(ii)假设当m=k时，不等式成立，即(1+兀)*$1+也，则当加二£+1时,Vx>-1,・・・1+兀>0,于是在不等式(1+兀)*上1+也两边同乘以1+x得(1+x)"・(l+x)三(1+闵(1+兀)=1+伙+1)尤+圧21+伙+1)无，所以(1+力曲$1+伙+1)兀.即当m=k+1时，不等式也成立.综合(i)(ii)知，对一切正整数加，不等式都成立.(

7、丫"m(2)证：当心

8、6,m^n时，由(I)得1+——21>0,I〃+3丿n+3于是(3)解：由(II)知，当时,1-兀+3丿/+1-I71+3丿”1<—+2(2丿(12丿(2丫-Ip5+3丿即3"+4"+・・・+S+2）"v（n+3）".即当&6时，不存在满足该等式的正整数n.故只需要讨论77=1,2,3,4,5的情形：当77=1时，3工4,等式不成立；当n=2时，32+42=52,等式成立；当n=3时，3‘+4'+5'=6‘，等式成立;当刃=4时，34+44+54+64为偶数，而才为奇数，故34+44+54+64^74,等式不成立;

9、当n=5时，同兄=4的情形可分析出，等式不成立.综上，所求的刃只有77=2,3.解法2：（1）证：当x=0或加=1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明:当x>-1,且xHO时，m22,(1+x)m>1+mx・①不等式①成立;①当m=2时，左边=1+2兀+〒，右边=l+2x,因为XH0,所以%2＞0,即左边〉右边,②假设当m=k（k2）