重积分的应用.doc

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1、重积分的应用1、质量假设薄板在平面上覆盖区域，设在点的密度为（质量／单位体积）。把S分成小矩形，在上找一点，那么的质量近似于，整个薄板的质量近似于。实际质量科通过分割的小矩形对角线长趋近与零时，计算上式的极限得到。2、质心如果分别是位于平面上点的质量，关于x轴和y轴的总力矩是，此外，质心（平衡点）的坐标为考虑一个密度为变量的薄板在平面上覆盖S区域，对薄板进行分割，假设每个的质量近似的集中在处，最后，当分割的小矩形对角线趋近与零时取极限，导出公式3、转动惯量从物理学上，我们知道，一个质量是、速度是且沿直线运动的物体，其动能是（1）。假如物体不是沿直

2、线运动，而是以角速度绕着一条轴运动，它的速度是，其中，是它的圆形路线的半径。当代入（1）时，得到。表达式叫做质点的转动惯量（惯性矩），记作。因而，对于一个旋转的质点（2）由（1）和（2）可知：对于一个做圆周运动的物体，转动惯量在其中扮演的角色与质量在直线运动的物体扮演的角色类似。对于一个在平面内包含了质量分别是，距离直线分别为的个物体系统，这个系统关于的转动惯量定义为。现在，我们考虑密度是，覆盖位于面内的区域的薄板，如果我们类似图二把分块，求出每一小块的转动惯量的近似值，加起来，求极限，可以推出关于轴轴和轴的转动惯量（也叫第二力矩）的公式分别为，

3、4、体积问题由二重积分的几何意义知：若，二重积分表示以为曲顶，以Ｄ为底的曲顶柱体的体积。历年真题1、设，则的形心坐标为--------------------------(2010，数一，4分)【解析】2、设直线L过A(1,0,0)，B(0,1,1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面，曲面与z=0,z=2围成的立体为（1）求曲面的方程（2）求的形心坐标(2013，数一，10分)【解析】直线L的方程为,所以将L绕z轴旋转一周得到曲面的方程为：即：。从曲面的方程可以看出，关于xoz,yoz面是对称的，则形心坐标为：，故的形心坐标为：。3、设，则(200

4、9，数一，4分)【解析】利用球面坐标4、设是由平面与三个坐标平面所围成的空间区域，则(2015，数一，4分)【解析】由变量的对称性知：所以