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1、14物理与工程Vol.14No.42004用毕奥-萨伐尔定律计算磁偶极子的磁场分布李建青(武汉理工大学物理系,武汉430070)(收稿日期:2004-03-01)摘要本文提供了一种用毕奥-萨伐尔定律求解磁偶极子的磁场分布公式的方法.此方法简单明了,求解过程严谨,为针对低年级大学生开设的/大学物理0课程中导出磁偶极子磁场的公式提供了一个很好的途径.关键词磁偶极子;小环流;磁场;毕奥-萨伐尔定律CALCULATINGTHEMAGNETICFIELDOFAMAGNETICDIPOLEBYBIOT-SAVART.SLAWLiJianqing(PhysicsDepa
2、rtment,WuhanUniversityofScience&Technology,Wuhan430070)AbstractThispaperoffersaconciseandrigorousmethodtocalculatethemagneticfieldbyamagneticdipoleusingBio-tSavart.slaw.Itisgivenagoodwaytodemonstratemagneticfieldformulaforamagneticdipoletojuniorstudentsinstudyingphysics.KeyWordsma
3、gneticdipole;coincarryingcurrent;magneticfield;Bio-tSavart.slaw1引言2用毕奥-萨伐尔定律求圆电流的磁场磁偶极子是静磁场中的一个重要的物理模如图1所示,将载有电流I,半径为R的圆电型,对研究物质磁性本质有极其重要的意义.在流置于直角坐标系Oxyz中,取圆心为坐标原点,其/大学物理0课程中对众多工科低年级大学生介绍轴线为z轴.取观察点P在xz平面上,P点的位磁偶极子及其性质,尤其磁偶极子的磁场分布,是十分必要的.然而,一般只在高年级学生用的5电磁学6和5电动力学6教材中通过引入磁荷的概念[1]与电
4、荷类比的方法,或通过求矢势A,再用B=[2]$@A求出磁偶极子的磁场分布;另有一些文[3~6]献用较复杂的数学近似求出圆电流磁场分布,在满足一定条件下导出磁偶极子的磁场公式.在现行的工科非物理专业用的5大学物理6教[7~9]材中,磁偶极子的磁场分布公式可谓/鲜为人见0的.本文将用毕奥-萨伐尔定律求出磁偶极子图1的磁场分布公式.15物理与工程Vol.14No.42004-3/2矢为r,在圆电流上任取一电流元Idl,其位矢为-32xRcosU-33xRcosUUr1-2Ur1+2R,所以有rrr=xi+zk(5)R=RcosUi+RsinUj(1)将(5)式代
5、入(4)式,积分得rc=r-R=(x-RcosU)i-RsinUj+zkL0IRB=#4PIdl=IRdUSU=IRdU(-sinUi+cosUj)2P3xRcosUzcosUi+(R-xcosU)k根据毕奥-萨伐尔定律,电流元Idl在P点产生的Q31+2dU0rr磁感应强度dB为2L0IR3zxRPPR3xRPL0Idl@rL0IRdUSU@(r-R)=5i+3-52kdB=3=3(2)2Pr2rr4Prc4P
6、r-R
7、222L0IPR3zx2r-3x^SU@(r-R)=(-sinUi+cosUj)@=5i+5k(6)4Prr[(x-RcosU)i-Rs
8、inUj+zk]222x=r-z,r=xi+zk代入(6)式整理得=zcosUi+zsinUj+(R-xcosU)k32223/2L2
9、r-R
10、=(x+z+R-2xRcosU)0IPR3z(xi+zk)-1kB=53(3)4Prr将(3)式代入(2)式,得L20IPR3zr1L0IRzcosUi+zsinUj+(R-xcosU)k=4Pr5-r3k(7)dB=2223/2dU4P(x+z+R-2xRcosU)如图2所示的小环流对应的磁矩为根据场叠加原理,整个圆电流在P点产生的2总磁感应强度B为pm=IPRkL0IR且pmz=pmrcosH=pm#r(8)B
11、=RdB=#L4P将(8)式代入(7)式,得小环流的磁场分布公式2PzcosUi+zsinUj+(R-xcosU)kQ2223/2dUL03(pm#r)rpm0(x+z+R-2xRcosU)B=5-3(9)4PrrL0IR^By=#4P通常我们将小环流视为磁偶极子,或磁偶极2PzsinU子亦即小环流,二者等价.因此,(9)式即磁偶极子Q2223/2dU=00(x+z+R-2xRcosU)的磁场分布公式.L0IR_B=#4P2PzcosUi+(R-xcosU)kQ2223/2dU(4)0(x+z+R-2xRcosU)式(4)为圆电流的磁场分布,但这是一个复杂
12、积分,无法用初等函数表示.对其相关解文献[3]~[6]均做了进一步
