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1、第21卷第2期高师理科学刊Vol.21No.22001年5月JournalofScienceofTeachers′CollegeandUniversityMay2001文章编号:1007-9831(2001)02-0019-04正交矩阵的正交分解曲茹,王淑华(齐齐哈尔实验中学,黑龙江齐齐哈尔161006)摘要:探讨了一类特殊正交矩阵—镜象矩阵的若干性质及任意n阶正交矩阵都可分解为有限个镜象矩阵的乘积的可能性、唯一性、因子个数.关键词:正交矩阵;镜象矩阵中图分类号:O151121文献标识码:A在矩阵分解理论中,矩阵的乘积分解在理论与应
2、用上尤为重要.任意n阶正交矩阵(可逆)可写成若干个初等矩阵的乘积是一种乘积分解,本文旨在讨论任意n阶正交矩阵都可写成有限个镜象矩阵的乘积,即正交矩阵的正交因子分解.在[1]中,我们认识了n维欧氏空间的正文变换关于标准正交基的矩阵———正交矩阵的一一对应关系及相应性质.在§813习题7中有结论:n维欧氏空间的每一正交变换都可表成若干个镜面反射的乘积,我们将用矩阵语言给出平行定理———任一n阶正交矩阵都可写成有限个镜象矩阵的乘积,并深入讨论因子个数与阶数n及所给正交矩阵的行列式的关系及镜象矩阵的性质.本文所用述语及符号同[1].定义1正
3、交变换略(见[1]P321定义或定理81311)1定义2一个n阶实矩阵U叫做一个正交矩阵,如果UU′=U′U=I(见[1]P317)1定义3设V是一个n维欧氏空间,α∈V是一个非零向量,定义2〈ξ,α〉τ(ξ)=ξ-αPξ∈V〈α,α〉2则τ是V的一个正交变换,且τ=L(L为单位变换)称τ是由向量α决定的一个镜面反射.nn定义4令上述V=R,设u=(u1,u2,⋯,un)′∈R且满足u′u=1,称n阶方阵H=In-2uu′为实镜象矩阵(见[2]P56)1引理1设U为正交矩阵,则U的行列式为±1(见[1]P320,习题10(1))1若
4、
5、U
6、=1,称U为第一类正交矩阵;若
7、U
8、=-1,称U为第二类正交矩阵1引理2设V为n维欧氏空间,则1)对于V中任意两个不同的单位向量α,β存在一个镜面反射τ,使τ(α)=β.2)V的每一正交变换σ都可以表成若干个镜面反射的乘积.(见[1]P329习题7)1定理1设H为n阶镜象矩阵,则1)H为正交矩阵;2)H为对称矩阵;3)H为对合矩阵;4)H的行列式为-1;5)n维欧氏空间的任一镜面反射关于任意标准正交基的矩阵必为镜象矩阵,反之任一镜象阵可唯一确定一个镜面反射1证由定义4,1)、2)、3)显然成立124)令u=(u1,u2,⋯,u
9、n)′,∑ui=1i=1收稿日期:2001-02-26作者简介:曲茹(1965—),女,黑龙江齐齐哈尔人,齐齐哈尔市实验中学一级教师.20高师理科学刊第21卷212u12u2⋯2un1-2u1-2u1u2⋯-2u1unu110⋯02-2u2u11-2u2⋯-2u2un
10、H
11、=
12、In-2uu′
13、==u201⋯0⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2-2unu1-2unu2⋯1-2unun00⋯1n21-r2ui2u1⋯2uni=1nnn01⋯1222==1-r2ui=1-2rui=-1,(rui=1)i=1i=1i=1⋯⋯⋯⋯00⋯1α5)设V是一个n
14、维欧氏空间,由定义3,若取γ1=,并将其扩充成V的一个标准正交基{γ1,γ2,
15、α
16、-11⋯γn},则易证镜面反射τ关于此基的矩阵为H=w1由定义4,令H=In-2uu′,再令u=(x1⋯xn)′易求得u=(1,0,⋯,0)′,故H为由单位向量u决定的镜象阵,再设τ关于任意标准正交基{α1,⋯,-1-1αn}的矩阵为A,U为由{α1,⋯,αn}到{γ1,⋯,γn}的过渡矩阵,有UAU=H,有A=UHU=UHU′(3),其中H、U皆为正交矩阵,显然A为正交矩阵,又A′=(UHU′)′=A,A为对称阵,且
17、A2-1
18、=
19、U
20、
21、H
22、
23、U′
24、
25、=
26、H
27、=-1,还可证A=I,即1)、2)、3)、4)被满足,又由(3)式,A=UHU=-1-1-1U(In22uu′)U=UInU-2(Uu)′(u′U)=In-2uu′,故A为镜象矩阵.反之,设H=(hij)为任一镜象矩阵,由正交矩阵性质,H每一列(行)向量均为单位向量,有1
28、hij
29、≤1;再令uu′=(In-H)即22x1x1x2⋯x1xn1-h11-h12⋯-h1n2x1x2x2⋯x2xn1-h211-h22⋯-h2n=⋯⋯⋯⋯2⋯⋯⋯⋯2-h-h⋯1-hxnx1xnx2⋯xnn1n2nn211由矩阵相等,有xi=(1-h
30、ij)((1-hij)>0)又xiyi=-hij.可解出两个互为相反的单位向量22±u=(x1⋯xn)′,由±u可确定同一镜面反射τ:τ(ξ)=ξ-2〈ξ,u〉u,τ1(ξ)=ξ-2〈ξ1,-u〉(-u)=ξ-2<ξ,u>u,于是τ=
