正交化及正交矩阵

正交化及正交矩阵

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1、Schmidt正交化 及正交方阵.向量的内积及其性质向量内积的定义设是两个n维向量令称是向量X和向量Y的内积。2.内积的性质(1)=(3)=+(2)<X,Y>=3.向量的范数称为向量X的长度(范数),记为

2、

3、X

4、

5、称

6、

7、X–Y

8、

9、为X与Y之间的距离.证明:令f(t)=,显然函数f(t)0且f(t)=+=+t+t+t2=

10、

11、X

12、

13、2+2t+t2

14、

15、Y

16、

17、2从而有:即证毕称为向量X与之间的夹角.即

18、,特别4.范数的性质(5)

19、

20、X

21、

22、0,且

23、

24、X

25、

26、=0X=0证明:由再由得到:即:证毕例1.设X,Y,Z皆是n维向量,试证明三角不等式:证明:例2.设X,Y是两个相互正交的n维向量,试证明勾股定理:证明:定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。证明:设1,2,…,m是一组两两相互正交的非零向量.1,2,…,m是一组数,11+22+…+mm=0使得则0=<j,11+22+…+mm>=j<j,j>又

27、

28、j

29、

30、2>0,所以j=0,j=1,2,…,m从而1,2,…,m线性无关证毕二.向量空间的标准正交基标准正交基的定义及其

31、性质定义:设V是一个向量空间,1,2,…,m是V的一组基,若满足:1)1,2,…,m两两相互正交2)

32、

33、j

34、

35、=1,j=1,2,…,m则称1,2,…,m是向量空间V的一组标准正交基.定理2若1,2,…,m是向量空间V的一组标准正交基,=11+22+…+mm是V中的一个向量,则j=<,j>,j=1,2,…,m证明:2.Schmidt正交化过程定理3若V是Rn的一个非零子空间,则V一定有标准正交基.证明:设1,2,…,m是V的一组基。取取取设1,2,…,s,s

36、价.取;当j=1,2,…,s时,显然,1,2,…,s,s+1是两两正交的单位向量,并且该向量组与1,2,…,s,s+1等价.经过若干次后我们就可以得到V的一组标准正交基1,2,…,m。1=1,证毕Schmidt正交化过程,k=1,2,…,m-1例3.把列向量组1=(1,0,1,1)T,2=(1,1,0,1)T,3=(0,1,1,1)T正交化。解:令1=1,例4解把基础解系正交化,即合所求.亦即取3.向量在向量空间上的正交投影定义:设V是Rn的一个非平凡的子空间,Rn,若在V中存在某向量,使得-与V中任何一个向量皆正交,则称为向量

37、在向量空间V中的正交投影向量。定理4.设V是Rn的一个非平凡的子空间,Rn,则在向量空间V中的正交投影向量存在且唯一.证明:设1,2,…,m是向量空间V的一组标准正交基.取则<-,j>=<,j>-<,j>=<,j>-<,j>=0,说明向量-与V的标准正交基1,2,…,m中的任何一个向量皆正交,从而与V中的任何一个向量皆正交。故是向量在向量空间V中的正交投影向量。若也是向量在向量空间V中的正交投影向量,由于:=<-,j>+<-,j><-,j>=0,j=1,2,…,m,以及V,V的维数等于m,推知=即

38、,在向量空间V中的正交投影是唯一的。定理5设V是Rn的一个非平凡的子空间,Rn,是在向量空间V中的正交投影向量,则对于V中的任何一个向量,只要,就有:

39、

40、-

41、

42、<

43、

44、-

45、

46、证明:设是在向量空间V中的正交投影向量,则对于V中的任何一个向量,只要,就有:

47、

48、-

49、

50、2=

51、

52、(-)+(-)

53、

54、2=

55、

56、-

57、

58、2+

59、

60、-

61、

62、2>

63、

64、-

65、

66、2.即:

67、

68、-

69、

70、<

71、

72、-

73、

74、证毕三.正交方阵及其性质定义:设A是一个n阶方阵,若ATA=En则称A为一个n阶正交矩阵。1.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。

75、2.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准正交基.3.若A是一个正交矩阵,则

76、A

77、2=1定义:若A是一个正交矩阵,则称线性变换Y=AX为正交变换。正交变换有如下性质:设Y1=AX1,Y2=AX21.=2.

78、

79、Y1

80、

81、=

82、

83、X1

84、

85、3.Y1与Y2之间的夹角等于X1与X2之间的夹角小结n维向量之间的内积;n维向量的范数;两个n维向量之间的距离;夹角.Schimidt正交化过程向量在向量空间上的正交投影及其性质正交矩阵、正交变换

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