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1、Schmidt正交化 及正交方阵.向量的内积及其性质向量内积的定义设是两个n维向量令称是向量X和向量Y的内积。2.内积的性质(1)=(3)=+(2)<X,Y>=3.向量的范数称为向量X的长度(范数),记为
2、
3、X
4、
5、称
6、
7、X–Y
8、
9、为X与Y之间的距离.证明：令f(t)=，显然函数f(t)0且f(t)=+=+t+t+t2=
10、
11、X
12、
13、2+2t+t2
14、
15、Y
16、
17、2从而有：即证毕称为向量X与之间的夹
18、角.即,特别4.范数的性质(5)
19、
20、X
21、
22、0,且
23、
24、X
25、
26、=0X=0证明:由再由得到:即:证毕例1.设X,Y,Z皆是n维向量,试证明三角不等式:证明:例2.设X,Y是两个相互正交的n维向量,试证明勾股定理:证明:定理1.非零的正交向量组必然是线性无关的。证明：设1,2,…,m是一组两两相互正交的非零向量.1,2,…,m是一组数，11+22+…+mm=0使得则0=<j,11+22+…+mm>=j<j,j>又
27、
28、j
29、
30、2>0,所以j=0,j=1,2,…,m从而1,2,…,m线性无关证毕二.向量空间的标准正交基标准正交
31、基的定义及其性质定义:设V是一个向量空间，1,2,…,m是V的一组基，若满足：1）1,2,…,m两两相互正交2）
32、
33、j
34、
35、=1,j=1,2,…,m则称1,2,…,m是向量空间V的一组标准正交基.定理2若1,2,…,m是向量空间V的一组标准正交基，=11+22+…+mm是V中的一个向量，则j=<,j>,j=1,2,…,m证明：2.Schmidt正交化过程定理3若V是Rn的一个非零子空间，则V一定有标准正交基.证明：设1,2,…,m是V的一组基。取取取设1,2,…,s,s36、,2,…,s等价.取;当j=1,2,…,s时,显然,1,2,…,s,s+1是两两正交的单位向量,并且该向量组与1,2,…,s,s+1等价.经过若干次后我们就可以得到V的一组标准正交基1,2,…,m。1=1,证毕Schmidt正交化过程,k=1,2,…,m-1例3.把列向量组1=(1,0,1,1)T,2=(1,1,0,1)T,3=(0,1,1,1)T正交化。解:令1=1,例４解把基础解系正交化，即合所求．亦即取3.向量在向量空间上的正交投影定义:设V是Rn的一个非平凡的子空间,Rn，若在V中存在某向量，使得-与V中任何一个
37、向量皆正交，则称为向量在向量空间V中的正交投影向量。定理4.设V是Rn的一个非平凡的子空间,Rn,则在向量空间V中的正交投影向量存在且唯一.证明：设1,2,…,m是向量空间V的一组标准正交基.取则<-,j>=<,j>-<,j>=<,j>-<,j>=0，说明向量-与V的标准正交基1,2,…,m中的任何一个向量皆正交，从而与V中的任何一个向量皆正交。故是向量在向量空间V中的正交投影向量。若也是向量在向量空间V中的正交投影向量，由于:=<-,j>+<-,j><-,j>=0，j=1,2,…,m，以及V
38、，V的维数等于m，推知=即,在向量空间V中的正交投影是唯一的。定理5设V是Rn的一个非平凡的子空间，Rn，是在向量空间V中的正交投影向量，则对于V中的任何一个向量，只要，就有：
39、
40、-
41、
42、<
43、
44、-
45、
46、证明：设是在向量空间V中的正交投影向量，则对于V中的任何一个向量，只要，就有：
47、
48、-
49、
50、2=
51、
52、(-)+(-)
53、
54、2=
55、
56、-
57、
58、2+
59、
60、-
61、
62、2>
63、
64、-
65、
66、2.即：
67、
68、-
69、
70、<
71、
72、-
73、
74、证毕三.正交方阵及其性质定义：设A是一个n阶方阵，若ATA=En则称A为一个n阶正交矩阵。1.A是一个正交矩阵的充分必
75、要条件是它的转置矩阵是一个正交矩阵。2.A是一个正交矩阵的充分必要条件是它的n个列向量构成了Rn的一个标准正交基.3.若A是一个正交矩阵，则
76、A
77、2=1定义:若A是一个正交矩阵，则称线性变换Y=AX为正交变换。正交变换有如下性质：设Y1=AX1,Y2=AX21.=2.
78、
79、Y1
80、
81、=
82、
83、X1
84、
85、3.Y1与Y2之间的夹角等于X1与X2之间的夹角小结n维向量之间的内积;n维向量的范数;两个n维向量之间的距离;夹角.Schimidt正交化过程向量在向量空间上的正交投影及其性质正交矩阵、正交变换
