正交变换和正交矩阵

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1、7.3正交变换和正交矩阵授课题目：7.3正交变换和正交矩阵教学目标：理解和掌握正交变换与正交矩阵的概念，性质及其关系授课时数：3学时教学重点：正交变换的性质教学难点：正交变换的判定，正交矩阵特征值的性质教学过程：一、标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。设{}是n维欧氏空间的两个标准正交基，U（U=（））则定义7.3.1设是实数域上的n阶矩阵,如果,则称为正交矩阵.定理7.3.1设在n维欧氏空间中由标准正交基对基的过渡矩阵是,那么是标准正交基的充分必要条件是为正交矩阵.证明:必要性已证.现证充分性.设为正交矩阵,则成立,从而是标准正交基.例1：证明每一个n阶可

2、逆矩阵A都可以唯一表成A=UT的形式，这里U是一个正交矩阵，T是一个上三角实矩阵且主对角线上元素。证明：存在性，由于A为n阶非奇异实矩阵，故A=的列向量线性无关，从而为的一个基，实行单位化令从而T也是对角线上全为实数的上三角形矩阵，由于是标准正交基，故有是一个正交矩阵，于是知A=UT唯一性：设另有其中为正交矩阵，为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证故思考题设是欧氏空间V的一个标准正交基,试求正交变换σ,使σ适合练习设V是一个欧氏空间,是一个非零向量,对于,规定V的一个变换证明:τ是V的一个正交变换,且ι是单位变换.

3、例2：设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。（1）证明，存在V的一个正交变换，使（2）如果V的一个正交变换，使那么所生成的子空间与由所生成的子空间重合。证：（1）一定存在一个变换使及为标准正交基，故为正交变换(2)证先证设另一放面，若则，因为是正交变换，故是V的一个标准正交基，不妨令故因而有是一个正交矩阵，于是知A=UT唯一性：设另有其中为正交矩阵，为对角线上全是正实数的上三角形矩阵，则即上式既是上三角形矩阵又为正交矩阵，可证故例2：设和是n维欧氏空间V的两个标准正交基。（1）证明，存在V的一个正交变换，使（2）如果V的一个正交变换，使那么所生成的子空间与

4、由所生成的子空间重合。证：（1）一定存在一个变换使及为标准正交基，故为正交变换（3）证先证设另一放面，若则，因为是正交变换，故是V的一个标准正交基，不妨令故因而二、正交阵的判断。定理7.3.2：U是n阶正交矩阵的行（列）向量组成n维欧式空间的一个标准正交基。证：必要性设U是正交矩阵则有=I令U=（，……，）T=(…)=在欧氏空间中有=<,>i,j=1,2,3,……n故有==I故<,>=因而，……，是的标准正交基充分性设，……，是的一个标准正交基，以上过程可逆有=I，从而是正交矩阵。三、正交矩阵的性质⑴正交矩阵可逆，且逆矩阵仍然为正交矩阵；故⑵两个正交矩阵的

5、乘积仍然为正交矩阵；⑶正交矩阵的行列式为；故四、正交变换1定义7.3.2：是欧氏空间的一个线性变换，如果有则称是的一个正交变换。2正交变换的判断定理7.3.3是的一个线性变换，于是以下四个命题等价：⑴是的正交变换；⑵，有<，>=<,>；⑶若是的标准正交基则也是的标准正交基；⑷是关于任意一个标准正交基的矩阵是正交矩阵。证明：用⑴⑵⑶⑷⑴的循回证法来证明，⑴⑵是正交变换有=而=<,>=<,>=<,>+2<,>+<,>=<,>=<,>+2<,>+<,><,>=<,>,<,>=<,>故<，>=<,>⑵⑶<,>=<,>=故，，……，是的标准正交基。⑶⑷设是的标准正交

6、基，关于基的矩阵为（=,均为标准正交基故是正交基。⑷⑴设是关于标准正交基的矩阵的正交矩阵，即=，，…，也是标准正交基。则有<,>=<(),>==即推论1：正交变换保持向量的夹角不变。=arccos=arccos=注意：逆命题不一定成立。当取定了标准基之后，正交变换与正交矩阵是一一对应的。并且保持乘法运算，研究正交变换可归结为研究正交矩阵。推论2：两正交变换的积仍是正交变换，正交变换的逆变换也是正交变换。证：设，均为正交变换则3正交变换的分类若正交变换关于某一标准正交基的矩阵为时称为第一类正交变换，并称为旋转；时称为第二类正交变换，并称为反射。例：和是n维欧

7、氏空间的两个标准正交基，则存在的一个正交变换。使证：定义，，有又则==是的一个线性变换，又是正交变换，且正交变换类型二阶正交变换