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1、常州工学院学报眼无卷积积分的基本计算方法王晓平南京邮电学院应用数理系,江苏南京。摘要确定卷积积分的积分限和在相应区间上的被积函数是计算卷积积分的两个难点利用,。卷积的定义可以解决比较简单的函数卷积问题图解法则适用于求分段函数的卷积如果参与卷,。积运算的函数含冲激函数或它的导数和积分那么用算子法并结合卷积的基本特性计算则较方便关键词卷积积分图解等效特性冲激函数算子一一一中图分类号文献标识码文章编号卷积积分是一种特殊的积分,它在积分变换、微分方程、信号与系统分析等学科中应用较广,是一门重要。的数学工具。现在以一个例子说明计算卷积的基本方法,二。才一、,一,‘一亡“,‘,‘。仔设函数试计算其卷积
2、丫利用卷积定义计算,·,·,·,根据定义卜一计算卷积确定卷积积分的积分限和在相应区间上的二。被积函数是计算卷积积分的两个难点二,,首先要注意变量和的辩证关系在积分运算过程中是积分变量是参变量积分后的结果是的。函数、一,、一其次卷积的积分区间既与函数几非零值的区间有关也与九图形的相对。,,一位置有关因为函数几非零值与的取值的变化有关所以对于的不同取值范围积分‘,·,·。就有不同的积分限二一解法一利用卷积定义一一’’,一一‘一“一二二一一其它·、、,··,厂卜一‘一一。二几护,,。显然这个积分值与函数一所取的非零值有关即与参数的取值有关①当时,因,所以一二二,关九一‘一二,一二,‘一‘一一一‘
3、②当时只有当时几几收稿日期一一第期王晓平卷积积分的基本计算方法产一‘一,,,‘一一‘。一③当时因所以三几一代‘,、护,‘综上所述有介一一一夕图解计算,,一,一的。作出几动的图形反褶得九的图形平移得介图形移动一,,一。图形几观察在的不同取值范围内九与的图形的重叠部分。一根据九与的图形的重叠部分定出积分限和在相应区间上的被积函数解,,一,一,,,,。法二作出九几的图形如图所示一砂人五图一,,一。如移动图形九观察在的不同取值范围内几与的图形的重叠部分图,所示。关了司一儿习一一一产撼图①当时,九一动的图形与的图形没有重叠部分见图,所以,·‘一一一二·,几一的图形与的,,,②当时图形仅在内有重叠见图
4、所以二才·、才一一一,一一,一的,,,③当时介图形与的图形仅在〔内有重叠见图所以·艺一忿,一,。,一一护丁一一由此,,、、。可见利用图解法定限直观明了简洁利用卷积的特性计算卷积作为一种数学运算方法,具有某些特殊的有用特性。在卷积运算中要注意应用卷积的特性简化运,尤其要重视应用奇异算函数的卷积特性·一···‘微积分等效特性几常州工学院学报年‘,‘,一般地仁〕注,为正整数时表示求导的阶数,,为负整数时表示求积分的次数,一,一夕夕则一一延时特性若、、、了、、声厂飞口万占是卷积的单位元了子‘了乙王于子,关占占是。秒的延时器占一。一。占’是微分器母‘二厂·一。一,‘,‘‘“’是积分器⋯一解法三利用卷
5、积的微积分等效特性可得·广‘··,一··。,一。,一·亡··了飞,了、丁一丁一一,一,一·“‘,一“才一〔,,〕一一〔,,〕关一‘一一‘。一一‘一。一。二一一‘,,一·,、,。或、。但要注意卷积的微积分等效特性成立是有条件的卜二,,召一、,一二‘一。,例如若利用卷积运算的微积分特性计算得九这是一个错误结塑一刃。,,·,才乙。果事实上、、一一,一,一一卜〔止一一一算子计算微分冲激法首先,引人算子的概念。、、,,矿,、,、,,、,,,、。。,,。和土分别为微分算子和积分算子‘不‘’气,一艺’,正戈民广‘’气’又则孙,“,,特另”将算子,和作用于冲激函数可得去占’户,,,,厂,。①占母户占⋯‘户
6、活⋯。‘。,、,、,、‘亡。,、,,、,、又泛口不,、。一夕一口气一八一⋯的一一‘,,这说明算子,和可将冲激函数。,的各阶导数和积分转化为由算子,和土组成的有理式并且可粤尸尹。以象一般有理式一样运算进一步讨论可得。,、,、、,一③占“,,‘,,了不万。不二况几一介二’」毛人,山不告,尸又一二〕,,、、,、〕,,、。,、一〕,,、占‘’④’‘’,、’汉艺,弓气艺,万一配气二二下双又艺⋯一一一一‘又下一二干一一几“一几不又八一弋,—一有些函数厂微分有限次后出现冲激函数占,在处理这类函数的卷积时,我们可以先将该函数微,。·,,·分直到出现冲激函数为止假定,才包含冲激函数。,利用一将‘以,,的知分
7、,,。形式代人卷积公式可将卷积的计算变成算子奥对冲激函数的运算从而较容易地求出原函数的卷积‘,。这种利用微分和积分算子,和计算函数卷积的方法称为算子法’‘’’粤一’’’‘’‘’’’”一一”一一””一一一”一一”一一一解法四利用算子法可得’、关一一关一‘关一‘一一一‘因为〔〕一第期王晓平卷积积分的基本计算方法、,、、,、。关一‘一一‘而—又丁了尸百亡气丫万尸甲尸尸二戈亡气「牛,了一下万百十又十十,一‘。一‘二一一‘一,卜一
