勒贝格积分的计算方法.pdf

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1、!""#年$$月安庆师范学院学报&自然科学版’:)=>!""#第$$卷第%期()*+,-.)/0,12,345-675+89)..535&:-;*+-.<625,65’?).>$$:@>%AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA勒贝格积分的计算方法周其生&安庆师范学院数学与计算科学学院C安徽安庆DEFGHH’摘要I本文讨论勒贝格积分的计算问题C利用勒贝格积分的定义和性质C总结出计算J积分的若干方法C各种方法都举出了例子说明K关键词I勒

2、贝格积分L黎曼积分L可积L计算中图分类号IMHNE>H文献标识码IO文章编号IHGGNPEDFG&DGGQ’GEPGGRSPGQ实变函数论的中心内容是勒贝格积分C在勒贝格积分&以下简称T积分’的学习中C面临的一个问题是它的计算K由于可积函数范围的扩大C不象在黎曼积分&以下简称U积分’中那样可积函数对连续性的依赖&可积必须几乎处处连续’C尽管U积分理论中VPT公式可推广到T积分中来C但利用找原函数的方法来解决T积分的计算问题很难奏效K本文讨论T积分的几种计算方法C有的方法不仅仅是为了解决T积分的计算问题C也提供了一个计算

3、U积分的方法KH>用定义计算直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法KT积分有多种等价的定义C为便于叙述C我们不妨按文献WHX来说明KWHX中定义分三部分C简要给出I&H’集合测度有限Y函数有界情形K当小和的上确界与大和的下确界相等时C定义积分为IZ&]’^]_‘abd&cC’_efgh&c>’K[cc&D’当函数非负可测&集合测度不限’时C定义积分为IZ&]’^]_i‘jW&]’Xk^][klmZ[koP&n’一般情形K当Z&]’^]和&]’^]至少有一个有限时C定义积分为I[Z[oPZ&]’^]

4、_&]’^]P&]’^]K[Z[Z[例H设&]’为WGCHX上的狄利克雷函数HC]pWGCHXqr&]’_sC这里r为全体有理数所成之集C计算&]’在WGCHX上的T积分KGC]pWGCHXtr解I因为&]’为简单函数C在WGCHX上有界可测C因而可积K可用定义&H’来求解K令[H_WGCHXqrC[D_WGCHXtrC则c_s[HC[Du是WGCHX的一个可测分划C对应的大Y小和数为d&cC’_h&cC’_GK因而Z&]’^]_‘abd&cC’_efgh&cC’_GWGCHXcc本例说明C用定义

5、&H’求积分时C如果能找到可测分法cC使得大小和数相等C则该和数就是所求的B收稿日期IDGGQPGFPDRBB基金项目I省教育厅科研基金&DGGEvwDFS’资助BBB作者简介I周其生&HSQFP’C男C安徽金寨人C安庆师范学院数学与计算科学学院副教授C主要从事算子理论的研究和实变函数课程的教学Kab;a安庆师范学院学报-自然科学版/3;;^年积分!当然"这样的分法#不见得总能找得到"但如果能选取一列可测分划$#%&"使得’(),-#%"./0%*+’()1-#%"./"则这个共同值便是所求的积分!对于非负可测函数也可

6、以直接用定义求积分!如下例2%*+例3设在456789集:上定义函数.-?%的构成区间上定义为%-%;;0="3"@/"试证.-?%的构成区间之和集"则FD%E=%D%为在456789集的构造中第%次挖去的3%03>?"而K.-

7、I=HD%I3H@%PE=%PE=%PE=3333%M.-

8、U可积"则它必同时V可积"且有相同的积分值!这条性质非常重要"有了它可借助于求U积分的那些方法来求V积分"通常与性质-=/结合使用!?<"