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1、2005年11月安庆师范学院学报(自然科学版)Nov.2005第11卷第4期JournalofAnqingTeachersCollege(NaturalScience)Vol.11NO.4XXXXXX勒贝格积分的计算方法周其生(安庆师范学院数学与计算科学学院, 安徽安庆 246011) 摘 要:本文讨论勒贝格积分的计算问题,利用勒贝格积分的定义和性质,总结出计算L积分的若干方法,各种方法都举出了例子说明。关键词:勒贝格积分;黎曼积分;可积;计算中图分类号:O174.1文献标识码:A文章编号:1007-4260(2005)04-0089-05 实变函数论的中心内容是勒贝格积
2、分,在勒贝格积分(以下简称L积分)的学习中,面临的一个问题是它的计算。由于可积函数范围的扩大,不象在黎曼积分(以下简称R积分)中那样可积函数对连续性的依赖(可积必须几乎处处连续),尽管R积分理论中N-L公式可推广到L积分中来,但利用找原函数的方法来解决L积分的计算问题很难奏效。本文讨论L积分的几种计算方法,有的方法不仅仅是为了解决L积分的计算问题,也提供了一个计算R积分的方法。1.用定义计算直接用定义来计算积分当然不失为一个有用的方法。L积分有多种等价的定义,为便于叙述,我们不妨按文献[1]来说明。[1]中定义分三部分,简要给出:(1)集合测度有限、函数有界情形。当小和的上确
3、界与大和的下确界相等时,定义积分为:f(x)dx=infS(D,f)=sups(D.f)。∫EDD(2)当函数非负可测(集合测度不限)时,定义积分为:f(x)dx=lim[f(x)]ndx∫En→∞∫En+-(3)一般情形。当∫f(x)dx和f(x)dx至少有一个有限时,定义积分为:E∫E+-∫f(x)dx=f(x)dx-f(x)dx。E∫E∫E例1 设f(x)为[0,1]上的狄利克雷函数1,x∈[0,1]∩Qf(x)=,这里Q为全体有理数所成之集,计算f(x)在[0,1]上的L积分。0,x∈[0,1]øQ解:因为f(x)为简单函数,在[0,1]上有界可测,因而可积。可用定义
4、(1)来求解。令E1=[0,1]∩Q,E2=[0,1]øQ,则D={E1,E2}是[0,1]的一个可测分划,对应的大、小和数为S(D,f)=s(D,f)=0。因而f(x)dx=infS(D,f)=sups(D,f)=0∫[0,1]DD本例说明,用定义(1)求积分时,如果能找到可测分法D,使得大小和数相等,则该和数就是所求的X收稿日期:2005-06-28XX基金项目:省教育厅科研基金(2004KJ269)资助XXX作者简介:周其生(1956-),男,安徽金寨人,安庆师范学院数学与计算科学学院副教授,主要从事算子理论的研究和实变函数课程的教学。·90·安庆师范学院学报(自然科学
5、版)2005年积分。当然,这样的分法D不见得总能找得到,但如果能选取一列可测分划{Dn},使得limS(Dn,f)=n→∞lims(Dn,f),则这个共同值便是所求的积分。对于非负可测函数也可以直接用定义求积分。如下例:n→∞n例2 设在Cantor集P0上定义函数f(x)=0,而在P0的余集中长为1ö3的构成区间上定义为n(n=1,2,⋯),试证f(x)可积分,并求出积分值。解f(x)在E=[0,1]上非负可测不难说明,且注意到f(x)不是有界函数,所以要用定义(2)。记n-1nn-1nGn为在Cantor集的构造中第n次挖去的2个长度为1ö3的构成区间之和集,则mGn=2
6、ö3,而f(x),x∈P0∪G1∪G2∪⋯∪Gn[f(x)]n=,此时定义中取En=E(n=1,2⋯),由定义(2)有n,x∈Gn+1∪Gn+2∪⋯nk-1nk-1nk-12222nf(x)dx=lim[f(x)]ndx=lim[∑kk+n(1-∑k)]=lim[∑kk+n()]=3∫En→∞∫Enn→∞k=13k=13n→∞k=133由此便得到f(x)的可积性。2.利用积分性质计算性质1 两个几乎处处相等的函数,有相同的可积性和相同的积分值。这是计算勒贝格积分的一个非常有用的方法,通常可把复杂的问题变得很简单。例3 在例1中,f(x)=0a.e.于[0,1],所以容易求得∫
7、f(x)dx=0[0,1]dx=0[0,1]∫性质2 若f(x)在[a,b]上R可积,则它必同时L可积,且有相同的积分值。这条性质非常重要,有了它可借助于求R积分的那些方法来求L积分,通常与性质(1)结合使用。3x,x∈[0,1]∩Q1例4 设f(x)=,计算积分(L)f(x)dxx2,x∈[0,1]øQ∫01122解 由于f(x)=xa.e.于[0,1],由上面性质(1)和(2)得,(L)∫f(x)dx=(L)∫xdx=00121(R)∫xdx=03众所周知,L积分是通常的R积分的推广,而非广义R积分
