黎曼积分和勒贝格积分的比较

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1、毕业论文题目黎曼积分与勒贝格积分的比较学院****************姓名****专业班级********学号*********指导教师提交日期原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果.学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处.除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果.本声明的法律责任由本人承担.论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日黎曼积分与勒贝格积分的比较摘要本文介绍了黎曼积分和勒贝格积分的概念，通过对两

2、类积分的基本性质，可积条件,结合相关定理，分析了勒贝格积分在积分与极限交换次序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处，并结合具体实例，具体说明了黎曼积分和勒贝格积分之间的联系与区别.关键字黎曼积分；勒贝格积分；比较；可测函数；可积函数.目录引言11定义11.1黎曼积分的定义11.2勒贝格积分的定义22黎曼积分与勒贝格积分的基本性质22.1黎曼积分的基本性质22.2勒贝格积分的基本性质33黎曼可积与勒贝格可积的条件43.1黎曼可积的条件43.2勒贝格可积的条件54相关定理54.1与勒贝格积分有关的定理54.2与黎曼积分有关的定理65黎曼积分

3、与勒贝格积分的联系66黎曼积分与勒贝格积分的区别87实例10总结11参考文献12致谢13黎曼积分与勒贝格积分的比较引言勒贝格积分相对于黎曼积分要迟发展了半个世纪.我们知道，黎曼积分在求积、物体质心、矩量等问题中起着重要作用.黎曼可积函数主要是连续函数或者不连续点不太多的函数，就从数学分析中的一些重要结果如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿-莱布尼茨公式等来看，在黎曼积分情形所加条件，没有勒贝格积分情形那样方便.而用勒贝格积分处理这一类问题是相当灵活的.事实上，如果不用勒贝格测度概念，数学分析中的一些道理很难讲清楚.下面就具体比较

4、一下勒贝格积分和黎曼积分的不同处理方法.1定义1.1黎曼积分的定义设在上有定义1）作划分.在上添加个分点得到，将分成个小区间，记小区间的长度为.2）取近似.任取点，用底为，高为的矩形面积近似代替小的曲边梯形的面积.3）求和.这些小矩形面积之和为.4）取极限.令，当时，极限存在.则称在上黎曼可积，且有1.2勒贝格积分的定义设是有界可测集上的可测函数1）(简单函数的积分)设上简单函数，其中等为互不相交的可测集，等互异，表示的特征函数.和为简单函数在上的积分，并记为2）(非负可测函数的积分)取简单函数满足，另变动，定义在上积分为如果此量为有

5、限，则称在上可积，否则只说在上积分为（这时在上有积分但不可积）.3)（一般可测函数的积分）对于一般可测函数，当与不同时为时，定义在上的积分为当此式右端两项均为有限项时，的积分是有限的，称在上可积.2黎曼积分与勒贝格积分的基本性质2.1黎曼积分的基本性质性质1若在上黎曼可积，为常数，则在上黎曼可积，且.性质2若，都在上黎曼可积，则在上也黎曼可积，且.性质3若，都在上黎曼可积，则在上也黎曼可积.性质4在上黎曼可积的充要条件是:任给，在与都黎曼可积，且有等式.性质5设为上的黎曼可积函数.若，，则.性质6若在上黎曼可积，则在上也黎曼可积，且.

6、2.2勒贝格积分的基本性质性质1设是有界可测集上的可积函数，，等均可测且两两不相交，则有.性质2设在有界可测集上可积，则对任意正数，有正数，使当时就有.性质3设是有界可测集上的可积函数，，等均可测且两两不相交，则.性质4设在上可积，则对任何实数，也可积，且.性质5设在，上均可积,则也可积，且.性质6设在，上均可积,且，则.3黎曼可积与勒贝格可积的条件3.1黎曼可积的条件充分条件：1、若为定义在上的连续函数，则在上黎曼可积.2、若为定义在上的只有有限个间断点的有界函数，则在上黎曼可积.3、若为定义在上的单调函数，则在上黎曼可积.4、若为

7、定义在上的有界函数，是的间断点，且，则在上黎曼可积.充要条件：设在上有界1、在上黎曼可积的充要条件是：在上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设为对的任意分割.由在上有界，它在每个上存在上、下确界：，作和，，则有.2、在上黎曼可积的充要条件是：任给，总存在相应的一个分割，使得.3、在上黎曼可积的充要条件是：任给，总存在相应的某一分割，使得（其中，称为在上的振幅）.必要条件：若函数在上黎曼可积，则在上必定有界.3.2勒贝格可积的条件充分条件：1、若是有界可测集上的非负可测函数，则在上勒贝格可积.2、若可测函数，在可测集上几乎处处满足，则当可积

8、时，也可积.3、设为定义在有限区间上的函数，若黎曼可积，则必然勒贝格可积.充要条件：1、设是可测集上的有界函数，则在上勒贝格可积的充要条件是：在上勒贝格可测.2、设是可测集上的连续函数，则在上勒贝格可积的充要条件是：在上