黎曼积分和勒贝格积分定义地比较

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1、目录1引言12积分理论的发展13黎曼积分和勒贝格积分定义的比较23.1黎曼积分23.2勒贝格积分34黎曼积分与勒贝格积分的关系45黎曼积分和勒贝格积分性质的比较55.1被积函数绝对可积性的比较55.2被积函数的有界性的比较55.3中值定理65.4被积函数连续性的比较75.5收敛条件76黎曼积分（广义）与勒贝格积分区别及联系97勒贝格积分的某些推广108结束语11参考文献12致谢13iii黎曼积分和勒贝格积分的比较数学系本1001班王海荣指导老师：张炎彪摘要：本文章我们将从学习过的黎曼积分和勒贝格积分的知识出发，探讨和归纳出黎曼积分和勒贝格积分两者之间的区别

2、与联系，通过两者的定义、被积函数的连续性，有界性、收敛条件、中值定理、绝对可积性以及广义黎曼积分和勒贝格积分的比较上，从而说明了勒贝格积分在处理一些黎曼积分难以解决的问题上时比较的具有优势，同时还指出了勒贝格积分是黎曼积分的重要推广，但是却不是黎曼反常积分的推广。关键词：黎曼积分，勒贝格积分，连续性，有界性。RiemannintegralandtheLebesgueintegralWangHairongClass1001，MathematicsDepartmentTutor:ZhangYanbiaoAbstract:Inmythesis,basedonth

3、eknowledgeoftheRiemannintegralandtheLebesgueintegral,wewanttoexploreandsummarizethedifferenceandconnectionbetweentheRiemannintegralandtheLebesgueintegral.Throughthedefinitionofbothitems,thecontinuityandboundednessoftheintegrand,theconvergencecondition,theintermediatevaluetheorem,a

4、bsoluteIntegrabilityandthecomparisonofthebroadsenseofRiemannintegralandtheLebesgueintegral,ItshowsLebesgueintegralhassomeadvantagesinthetreatmentofsomedifficultproblemsonRiemannintegral,andalsopointesoutthattheLebesgueintegralisanimportantgeneralizationofRiemannintegral,anditisnot

5、thepromotionofRiemannanomalousintegral.Keywords:Riemannintegral,Lebesgueintegral,continuity,boundedness.iiiiii1引言黎曼积分和勒贝格积分分别是数学分析和实变函数的主要核心内容。虽然莱布尼茨和牛顿两人发现了微积分，而且还给出了定积分的相关论述，但是现在我们所学习的教科书中有关定积分的现代化定义是黎曼积分给出来的。勒贝格积分是黎曼积分非常重要的推广，勒贝格积分与黎曼积分的最主要不同在于前者是对函数的函数值的区域进行定义区分，而后者是对函数定义域进行定义

6、划分。这两种积分既有联系又有区别，通过对这两种积分的对比研究，可以让我们加深对积分理论及应用的更多理解。研究清楚这些问题对我们学习数学非常重要，所以以下我们将对这些问题进行一一深入探讨与研究。2积分理论的发展在很早的时候柯西对连续函数做出了积分的定义。黎曼在柯西的基础上对“基本上”连续的函数积分进一步给出了相关定义。很早之前人们运用黎曼积分来进行计算曲边形的面积、物体的重心以及物理学上的功和能等方面都是很方便的。但是随着深入的认识，人们便开始经常地去处理解决一些复杂的函数。例如由一列性质优良的函数组成的级数所定义出来的函数，和两个变元的函数对一个变元积分后

7、所得到的一元函数等。在谈论它们的可积性、可微性、连续性时，经常遇到极限与积分能否交换顺序的相似问题，通常只有在很强的假定下（一致收敛）才能对这种问题作出确定性的回答。所以，人们在理论和使用上都急切的想要建立一种新的积分，它既能够维持黎曼积分在计算和几何直观上具有有效性，又能够确保极限与积分交换顺序等条件上有很大的改良与突破。这就需要对黎曼积分概念进行改良。把积分学推向进步的是勒贝格，他在1902年成功引进一种新的积分——勒贝格积分，同时还引入了一门新的数学分支学科——实变函数论。勒贝格理论主要包括勒贝格积分概念、点集的测度和可测函数，1872年，康托提出集

8、合论，引进了点集的概念，间断点可以看做一个整体进行考察，这样子就为