勒贝格积分函数的研究 汤倩南

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1、宿州学院2009届本科毕业论文勒贝格积分的研究目录摘要………………………………………………………………………2英文摘要…………………………………………………………………21.引言……………………………………………………………………32.勒贝格积分在数学分析中的应用………………………………………32.1在概念方面…………………………………………………………32.2在定理方面…………………………………………………………33.勒贝格积分的计算……………………………………………………33.1可测函数与连续函数有着密切的关系……………………………43.2连续函数与可积函数的关系………………………

2、………………54.勒贝格积分的优越性…………………………………………………64.1从积分与积分对比中看积分……………………64.2应用积分理论可以简便解决数学分析中的某些问题………8小结…………………………………………………………………………11致谢…………………………………………………………………………11参考文献…………………………………………………………………11宿州学院2009届本科毕业论文勒贝格积分的研究摘要勒贝格积分是变限积分函数中重要的一部分内容，实变函数是数学专业开设的一门重要课程。山西财经大学的于秀兰，绍兴文理学院的倪仁兴等对勒贝格积分函数均有所论述，其中绍兴文理学院

3、的倪仁兴从两个不同的角度深刻的说明了勒贝格积分应用范围之广。本文在借鉴他们的基础上，主要从三个方面对勒贝格积分进行研究。关键词：勒贝格积分，实变函数，数学分析，一致收敛AbstractLebesgueinteqralisanimportantpartinintegral,RealVariableFunctionisanimportantcourseinMathematicalanalysis.LebesgueintegralisdiscussedbyShanxiUniversityofYuXiulan,ShaoxingUniversityofNiRenxing.Inthispaper,

4、theydrawonthebasisofthreemainareastostudytheLebesgueinteqral.Keyword：Lebesgueintegral,RealVariableFunction,Mathematicalanalysis,unanimouslyConvergence11宿州学院2009届本科毕业论文勒贝格积分的研究1.引言勒贝格积分是实变函数中占有重要的地位，实变函数的理论是建立在实数理论和集合论的基础之上的。实变函数与数学分析在概念.定理.证明方法等方面都有千丝万缕的联系。如在概念方面，通过对比分析可以找到它们之间的异同点。实变函数既是先前各类分析课

5、程的深化和继续，同时又为继续学习其他后续课程打下必要的基础。因此，实变函数与数学分析比任何课程更为密切的关系。本文从三个不同的角度略加分析，以有助对勒贝格积分有更深一层的理解。2.勒贝格积分在数学分析中的应用2.1在概念方面在实变函数中，关于勒贝格积分有三种定义方式，我将在这里介绍一种比较常见的定义方式：设是上的非负可测函数，我们定义是上的勒贝格积分，这里的积分可以是；若，则称在上勒贝格可积的。设是上的可测函数，若积分至少有一个是极限值，则称为是上的勒贝格积分。2.2在定理方面在下面的定理中，是测度有限的可测集，等是定义在上的有界函数，可积就简称可积。定理1（1）设，在上可积，则也在上

6、可积且11宿州学院2009届本科毕业论文勒贝格积分的研究（2）设在上可积，则对任何常数，也在上可积且（3）设，在上可积，且，则特别当时有（4）设在上可积,则在上也可积，且3.勒贝格积分的计算极限方法是研究和解决数学分析问题的主要方法，从求极限到最后就积分，贯穿整个数学分析。但极限方法在研究实变函数理论中得到更加充分的应用。积分论的研究对象是定义可测集上的可测函数类，它与数学分析的主要研究对象—连续函数相比，有本质区别。连续函数对极限运算不封闭，而可测函数在极限运算下是封闭的。这就是说极限运算对可测集，可测函数可畅通无阻地使用，也正是由于这个原因，使极限运算在积分理论中得到充分的应用，而

7、且使积分能克服积分的局限性。例如：Lebesgue控制收敛定理提供了比积分较弱的条件，使极限与积分次序可以交换，即它不要求验证极限函数的可积性，分析其原因正是基于“可测函数的极限函数仍是可测函数”这一特征。因此，积分比积分有更加广泛的应用。以下我们举一个实例来说明极限方法在实变函数理论中的应用：例1若连续且可测，则可测。证明大意如下：都可表示为简单函数列的极限，连续函数符号与极限符号（在逐点意义下）可以交换，与简单函数的复合函数是简单函数，简单