大学线性代数公式.pdf

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1、大学线性代数公式1、行列式1.2nn行列式共有n个元素，展开后有n!项，可分解为2行列式；2.代数余子式的性质：①、A和a的大小无关；ijij②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0；③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；3.代数余子式和余子式的关系：ijijM(1)AA(1)Mijijijij4.设n行列式D：nn(1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D，则DD(1)2；11nn(1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D，则DD(1)2；22将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D

2、，则DD；33将D主副角线翻转后，所得行列式为D，则DD；445.行列式的重要公式：①、主对角行列式：主对角元素的乘积；nn(1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)2；③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；nn(1)④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)2；AOACCAOAmn⑤、拉普拉斯展开式：AB、(1)ABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积；⑦、特征值；nnknk6.对于n阶行列式A，恒有：EA(1)Sk，其中Sk为k阶主子式；k17.证明A0的

3、方法：①、AA；②、反证法；③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解；④、利用秩，证明rA()n；1⑤、证明0是其特征值；2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；rA()n（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0有非零解；nbR，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TAA是正定矩阵；nA的行（列）向量组是R的一组基；nA是R中某两组基的过渡矩阵；**2.对于n阶矩阵A：AAAAAE无条件恒成立；3.1**11TT1*TT*(A

4、)(A)(A)(A)(A)(A)TTT***111(AB)BA(AB)BA(AB)BA4.矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；5.关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：A1A若A2，则：AsⅠ、AAAA；12s1A11AⅡ、12；A1AsAO1AO1②、；（主对角分块）1OBOBOA1OB1③、；（副对角分块）1BOAO2AC1A1ACB11④、；（拉

5、普拉斯）1OBOBAO1AO1⑤、；（拉普拉斯）111CBBCAB3、矩阵的初等变换与线性方程组EOr1.一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F；OOmn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若rA()rB()AB；2.行最简形矩阵：①、只能通过初等行变换获得；②、每行首个非0元素必须为1；③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；3.初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置

6、后采用初等行变换）①、（A，E）（E,X)若，则1A可逆，且XA；c②、对矩阵11(,)AB做初等行变化，当A变为E时，B就变成AB，即：(,)(,ABEAB)；r1③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(,)(,)AbEx，则A可逆，且xAb；4.初等矩阵和对角矩阵的概念：①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；1②、2，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；iin1111③、对调两行或两列，符号Eij(

7、,)，且Eij(,)Eij(,)，例如：11；11111111④、倍乘某行或某列，符号Eik(())，且Eik(())Ei(())，例如：kk(0)；kk11111kk1⑤、倍加某行或某列，符号Eijk(()),且Eijk(())Eijk(())，如：11(k0)；1135.矩阵秩的基本性质：①、0rA()min(,)mn；mn②、TrA()rA()；③、若AB，则rA()rB()；④、若P、Q可逆，则rA(

8、)rPA()rAQ()rPAQ()；（可逆矩阵不影响矩阵的秩）⑤、max(