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1、线性代数部分梳理:条理化,给出一个系统的,有内在有机结构的理论体系。沟通:突出各部分内容间的联系。充实提高:围绕考试要求,介绍一些一般教材上没有的结果,教给大家常见问题的实用而简捷的方法。大家要有这样的思想准备:发现我的讲解在体系上和你以前学习的有所不同,有的方法是你不知道的。但是我相信,只要你对它们了解了,掌握了,会提高你的解题能力的。基本运算①ABBA②ABCABC③cABcAcBcdAcAdA④cdAcdA⑤cA0c0或A0。TTAATTTABABTTcA
2、cA。TTTABBA2nn1nn121Cn2DaAaAaA212122222n2nT转置值不变AA11逆值变AAncAcA,,,,,,1212A,,,3阶矩阵123B,,123ABABAB,,112233-1-AB,,112233AA0AB0BBEi,jc1有关乘法的基本运算Cabababiji11ji22jinnj线性性质AABABAB,1212ABB
3、ABAB1212cABcABAcB结合律ABCABCTTTABBAABABklklAAAklklAAkkkABAB不一定成立!AEA,EAAAkEkA,kEAkAABEBAE与数的乘法的不同之处kkkABAB不一定成立!无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解,例如2A2A3EA3EAE无消去律(矩阵和矩阵相乘)当AB0时A0或B0由A0和AB0B0由A0时ABACBC(无左消去律)特别的设A可逆,则
4、A有消去律。左消去律:ABACBC。右消去律:BACABC。如果A列满秩,则A有左消去律,即-2-①AB0B0②ABACBC可逆矩阵的性质i)当A可逆时,TT11TA也可逆,且AA。kk11kA也可逆,且AA。111数c0,cA也可逆,cAA。c111ii)A,B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆,且ABBA。推论:设A,B是两个n阶矩阵,则ABEBAE命题:初等矩阵都可逆,且1Ei,jEi,j11EicEic
5、1Ei,jcEi,jc命题:准对角矩阵1A11000A1100010A220010A2200A可逆每个A都可逆,记Aii0000001000Akk000Akk伴随矩阵的基本性质:AA*A*AAEA*1A*当A可逆时,AE得A,(求逆矩阵的伴随矩阵法)AA-3-1A11111A且得:A*AA*AAAA伴随矩阵的其他性质n11①A*A,A*AATT②A*A*,n1③cA*cA*,④AB*B*A*,kk⑤A*
6、A*,n2ab⑥A**AA。n2时,A**AA*cd关于矩阵右上肩记号:T,k,1,*i)任何两个的次序可交换,TT如A*A*,11A*A*等TTT111ii)ABBA,ABBA,AB*B*A*kkk但ABBA不一定成立!线性表示0,,,12s,,,i12s,,,xxx有解12s1122ssT,,,x有解xx,,x12s1sAx有解,即可用A的列向量组表示ABC
7、r,r,,r,A,,,,12s12n则r,r,,r,,,。12s12n-4-,,,,,,,12t12s则存在矩阵C,使得,,,,,,C12t12s线性表示关系有传递性当,,,,,,r,r,,r,12t12s12p则,,,r,r,,r。12t12p等价关系:如果,,,与,,,互相可表示,,,,,,12s12t12s12t记作,,,,,,。12s12t线性相关s1,单个向量,x0相关
8、0s2,,相关对应分量成比例,相关a:ba:ba:b12121122nn①向量个数s=维数n,