线性代数公式大全.pdf

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1、线性代数公式大全1、行列式2n1.n行列式共有n个元素,展开后有n!项,可分解为2行列式;2.代数余子式的性质:①、A和a的大小无关;ijij②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;ijij3.代数余子式和余子式的关系:M(1)AA(1)Mijijijij4.设n行列式D:nn(1)将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为D,则DD(1)2;11nn(1)将D顺时针或逆时针旋转90o,所得行列式为D,则DD(1)2;22将D主对角线翻转后(转置),

2、所得行列式为D,则DD;33将D主副角线翻转后,所得行列式为D,则DD;445.行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;nn(1)②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2;③、上、下三角行列式(◥◣):主对角元素的乘积;nn(1)④、◤和◢:副对角元素的乘积(1)2;AOACCAOAmng⑤、拉普拉斯展开式:AB、(1)ABCBOBBOBC⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;nnknk6.对于n阶行列式A,恒有:EA(1)Sk,其中Sk为k阶主

3、子式;k17.证明A0的方法:①、AA;②、反证法;③、构造齐次方程组Ax0,证明其有非零解;④、利用秩,证明rA()n;⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵:A0(是非奇异矩阵);rA()n(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组Ax0有非零解;nbR,Axb总有唯一解;A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;1A的特征值全不为0;TAA是正定矩阵;nA的行(列)向量组是R的一组基;nA是R中某两组基的过渡矩阵;**2.对于n阶矩阵A:AAAAAE无条件恒成立;

4、1**11TT1*TT*3.(A)(A)(A)(A)(A)(A)TTT***111(AB)BA(AB)BA(AB)BA4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:A1A若A2,则:OAsⅠ、AAALA;12s1A11A12Ⅱ、A;O1AsAO1AO1②、;(主对角分块)1OBOBOA1OB1③、;(副对角分块)1BOAO

5、AC1A1ACB11④、;(拉普拉斯)1OBOBAO1AO1⑤、;(拉普拉斯)111CBBCAB3、矩阵的初等变换与线性方程组EOr1.一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:F;OOmn等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若rA()rB()A:B;2.行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所

6、在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)r1①、若(,)AE:(,EX),则A可逆,且XA;c11②、对矩阵(,)AB做初等行变化,当A变为E时,B就变成AB,即:(,)(,ABEAB);r1③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Axb,如果(,)(,)Ab:Ex,则A可逆,且xAb;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;21②、2,左乘矩阵A,乘A的各行元素;右乘

7、,乘A的各列元素;iiOn1111③、对调两行或两列,符号Eij(,),且Eij(,)Eij(,),例如:11;11111111④、倍乘某行或某列,符号Eik(()),且Eik(())Ei(()),例如:kk(0);kk11111kk1⑤、倍加某行或某列,符号Eijk(()),且Eijk(())Eijk(()),如:11(k0);115.矩阵秩的基本性质:①、0rA()

8、min(,)mn;mnT②、rA()rA();③、若AB:,则rA()rB();④、若P、Q可逆,则rA()rPA()rAQ()rPAQ();(可逆矩阵

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