线性代数公式大全.pdf

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1、线性代数基本运算①A+B=B+A②(A+B)+C=A+(B+C)③c(A+B)=cA+cB(c+d)A=cA+dA④c(dA)=(cd)A⑤cA=0⇔c=0或A=0。TT(A)=ATTT(A±B)=A±B()T(T)cA=cA。TTT(AB)=BA2n(n−1)τ(n(n−1)21)=C=n2D=aA+aA++aA212122222n2nT转置值不变A=A−11逆值变A=AncA=cAα,β+β,γ=α,β,γ+α,β,γ1212A=(α,α,α)，3阶矩阵123B=(β,β,β)123A+B≠A+BA+B=(α+β,α+β,α+β)112233A+B=α+β,

2、α+β,α+β112233A∗A0==AB0B∗BE(i,j(c))=1有关乘法的基本运算C=ab+ab++abiji11ji22jinnj线性性质(A+A)B=AB+AB，1212A(B+B)=AB+AB1212(cA)B=c(AB)=A(cB)结合律(AB)C=A(BC)TTT(AB)=BAAB=ABklk+lAA=Aklkl(A)=Akkk(AB)=AB不一定成立！AE=A，EA=AA(kE)=kA，(kE)A=kAAB=E⇔BA=E与数的乘法的不同之处kkk(AB)=AB不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如2A−

3、2A−3E=(A−3E)(A+E)无消去律（矩阵和矩阵相乘）当AB=0时⇒/A=0或B=0由A≠0和AB=0⇒/B=0由A≠0时AB=AC⇒/B=C（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。左消去律：AB=AC⇒B=C。右消去律：BA=CA⇒B=C。如果A列满秩，则A有左消去律，即①AB=0⇒B=0②AB=AC⇒B=C可逆矩阵的性质i）当A可逆时，TT−1−1TA也可逆，且(A)=(A)。kk−1−1kA也可逆，且(A)=(A)。−11−1数c≠0，cA也可逆，(cA)=A。c−1−1−1ii）A，B是两个n阶可逆矩阵⇔AB也可逆，且(AB)=BA。推论：设A，B

4、是两个n阶矩阵，则AB=E⇔BA=E命题：初等矩阵都可逆，且−1(E(i,j))=E(i,j)−11(E(i(c)))=Eic−1(E(i,j(c)))=E(i,j(−c))命题：准对角矩阵−1A11000A11000−10A2200−10A2200A=可逆⇔每个A都可逆，记A=ii000000−1000Akk000Akk伴随矩阵的基本性质：AA*=A*A=AEA*−1A*当A可逆时，A=E得A=，（求逆矩阵的伴随矩阵法）AA−1A−1−1−1−1−1A且得：(A*)==(A)∗(A)*=A(A)=AA伴随矩阵的其他性

5、质n−1−1①A*=A,A*=AATT②(A)*=(A*),n−1③(cA)*=cA*,④(AB)*=B*A*,kk⑤(A)*=(A*)，n−2a−b⑥(A*)*=AA。n=2时，(A*)*=AA*=−cd关于矩阵右上肩记号：T，k，−1，*i)任何两个的次序可交换，TT如(A)*=(A*)，−1−1(A*)=(A)*等TTT−1−1−1ii)(AB)=BA,(AB)=BA，(AB)*=B*A*kkk但(AB)=BA不一定成立！线性表示0→α,α,,α12sα→α,α,,αi12sβ→α,α,,α⇔xα+xα++xα=β有解12s1122ss

6、T⇔(α,α,,α)x=β有解(x=(x,,x))12s1sAx=β有解，即β可用A的列向量组表示AB=C=(r,r,,r)，A=(α,α,,α)，12s12n则r,r,,r→α,α,,α。12s12nβ,β,,β→α,α,,α，12t12s则存在矩阵C，使得(β,β,,β)=(α,α,,α)C12t12s线性表示关系有传递性当β,β,,β→α,α,,α→r,r,,r，12t12s12p则β,β,,β→r,r,,r。12t12p等价关系：如果α,α,,α与β,β,,β互相可表示12s12tα,α,,α←→β,β,,β12s12t

7、记作α,α,,α≅β,β,,β。12s12t线性相关s=1，单个向量α，xα=0α相关⇔α=0s=2，α,α相关⇔对应分量成比例α,α相关⇔a:b=a:b==a:b12121122nn①向量个数s=维数n，则α,,α线性相（无）关⇔αα=(≠)01n1nA=(α,α,,α)，Ax=0有非零解⇔A=012n如果s>n，则α,α,,α一定相关12sAx=0的方程个数n<未知数个数s②如果α,α,,α无关，则它的每一个部分组都无关12s③如果α,α,,α无关，而α,α,,α,β相关，则β→α,α,,α12s12s12s证明：设c,,c,c不全为