线性代数公式定理大全(精简版).pdf

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1、线性代数公式定理大全（精简版）A不可逆A可逆r(A)nr(A)nAAx有非零解Ax0只有零解0是A的特征值A的特征值全不为零A的列（行）向量线性相关AA的列（行）向量线性无关TAA是正定矩阵A与同阶单位阵等价Appp,p是初等阵12sinR,Ax总有唯一解向量组等价具有相似矩阵反身性、对称性、传递性矩阵合同√关于e,e,,e：12nnn①称为的标准基，中的自然基，单位坐标向量；②e,e,,e线性无关；12n③e,e,,e1；12n④tr(E)=n；⑤任意一个

2、n维向量都可以用e,e,,e线性表示.12n√行列式的计算：AAAABBBB①若A与B都是方阵（不必同阶）,则Amn(1)ABB②上三角、下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.aa1n1na2n1a2n1n(n1)③关于副对角线：(1)2aaa1n2nn1aan1n1√逆矩阵的求法:1A①AA1线性代数公式定理大全（精简版）初等行变换1②(AE)(EA)1ABTATCTab1db③TTcdadbccaCDBD1111a1a1a1a

3、n1a2a2a2④1a2a1a1nanan1A1A1A1A1111n1⑤A2A2A2A1211AnAnAnA1mnmnmnmn√方阵的幂的性质：AAA(A)(A)mm1mm1√设f(x)axaxaxa，对n阶矩阵A规定：f(A)aAaAaAaEmm110mm110为A的一个多项式.√设Amn,Bns,A的列向量为

4、1,2,,n,B的列向量为1,2,,s，AB的列向量为r,r,,r,12s则：rA,i1,2,,s,即A(,,,)(A,A,,A)用A,B中简ii12s12sT若(b,b,,b),则Abbb单的一个提12n1122nn即：AB的第i个列向量r是A的列向量的线性组合,组合系数就是的各分量；高运算速度iiAB的第i个行向量r是B的行向量的线性组合,组合系数就是的各分量.ii√用对角矩阵左乘一个矩阵,相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量；用对角矩阵右乘一个矩阵,相当于用的对角线上的

5、各元素依次乘此矩阵的列向量.√两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘,A11B11AB与分块对角阵相乘类似,即：A22,B22ABkkkk2线性代数公式定理大全（精简版）A11B11ABAB2222ABkkkk√矩阵方程的解法：设法化成(I)AXB或(II)XAB当A0时,（当B为一列时,初等行变换(I)的解法：构造(AB)(EX)即为克莱姆法则）TTT(II)的解法：将等式两边转置化为AXB，T用(I)的方法求出X，再转置得X√Ax和Bx同解（A,B

6、列向量个数相同）,则：①它们的极大无关组相对应,从而秩相等；②它们对应的部分组有一样的线性相关性；③它们有相同的内在线性关系.√判断,,,是Ax0的基础解系的条件：12s①,,,线性无关；12s②,,,是Ax0的解；12s③snr(A)每个解向量中自由变量的个数.1零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交.2单个零向量线性相关；单个非零向量线性无关.3部分相关,整体必相关；整体无关,部分必无关.4原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组相关,原向量组相关.5两个向量线性相关对应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关.6向量组,,

7、,中任一向量(1≤i≤n)都是此向量组的线性组合.12ni7向量组,,,线性相关向量组中至少有一个向量可由其余n1个向量线性表示.12n3线性代数公式定理大全（精简版）向量组,,,线性无关向量组中每一个向量都不能由其余n1个向量线性表示.12ni8m维列向量组,,,线性相关r(A)n；12nm维列向量组,,,线性无关r(A)n.12n9r(A)0A.10若,,