线性代数重要定理及公式手册.pdf

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1、一、矩阵的基本运算1.ABBA2.ABCABC3.A+-A=OABAB4.ABABAAA5.AA6.kA0k0或AOTTTTTTTTTT7.AAABABkAkAABBAT11n转置行列式不变AA逆值变AAAA8.,,,,,,12129.A,,，B,,，3阶矩阵123123ABABAB,,AB,,112233112233A

2、A0AB0BB10.Ei,jc1二、有关矩阵乘法的基本运算CAB，即cababab.iji11ji22jinnj1.线性性质AABABABABBABAB12121212ABABAB2.结合律ABCABCTTT3.ABBA4.ABABklklklklkkk5.AAAAAABAB不一定成立！6.AEA，EAA，AkEkA，kEAkA，ABEBAEkkk与数的乘法的不同之处：ABAB不一定成立！7.无交换律因式分解的障碍是交换性，一个矩阵

3、A的每个多项式可以因式分解，例如2A2A3EA3EAE8.无消去律（矩阵和矩阵相乘）由ABOAO或BO由AO和ABOBO由AO时ABACBC（无左消去律）特别地，设A可逆，则A有消去律.左消去律：ABACBC右消去律：BACABC如果A列满秩，则A有左消去律，即①AB0B0；②ABACBC三、可逆矩阵的性质1.当A可逆时，1TTT1⑴A也可逆，且AA；kk11k⑵A也可逆，且AA；111⑶数0，A也可逆，AA.1112.若A，B是两个n阶可

4、逆矩阵，则AB也可逆，且ABBA推论：设A，B是两个n阶矩阵，则ABEBAE1113.命题：初等矩阵都可逆，且Ei,jEi,j；EicEi；c1Ei,jcEi,jc.A000110A00224.命题：准对角矩阵A可逆每个A都可逆，记ii000000Akk1A0001110A00122A.0001000Akk5.A是n阶可逆矩阵：A0（是非奇异矩阵）；R()An（是满秩矩阵）A的行（列）向量组线性无关；齐次方程组Ax0没有非零解；nb

5、R，Axb总有唯一解；A与E等价；A可表示成若干个初等矩阵的乘积；A的特征值全不为0；TAA是正定矩阵；nA的行（列）向量组是R的一组基；nA是R中某两组基的过渡矩阵.6.逆矩阵的求法1A①AA初等行变换1②(AE)(EA)1ABTATCTab1db③TTcdadbccaCDBD1111aaaa1n11a1a④2a221a2a1a1nanan11

6、11AA1AA111n1A⑤A2A22A121AA1AnAnn1四、伴随矩阵的基本性质：1.AA*A*AAE*A*1A2.当A可逆时，AE，得A，（求逆矩阵的伴随矩阵法）AA1A11111A且得：A*AA*AAAA3.伴随矩阵的其他性质n11⑴A*A,A*AATT⑵A*A*,n1⑶cA*cA*,⑷AB*B*A*,kk⑸A*A*，n2

7、db⑹A**AAn2时,A**A,A*.caAA*1*⑺伴随矩阵的特征值：(AXXA,AAAXX).4.关于矩阵右上肩记号：T，k，1，*⑴任何两个的次序可交换，TT(A1)T(AT)1，*11*如A*A*，AATTT111⑵ABBA,ABBA，AB*B*A*kkk但ABBA不一定成立！五、线性表示全课程的理论基础：线性表示线性相关性极大无关组和秩矩阵的秩1.⑴0,,,12s⑵,,,i12s⑶,,,x

8、x