线性代数重要定理

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1、线性代数重点知识第一章行列式一、把行列式某个数所在的行和列划去后剩下的数组成的行列式叫做这个数的余子式。二、行列式的值等于它某一行（列）上所有的数分别乘以他们的余子式和（-1）^（行标+列标）的和。三、行列式与它的转置行列式相等。（转置行列式：把一个行列式的行作列列作行所得到的行列式）四、互换行列式的两行（列），行列式改变符号。五、若行列式D中某一行（列）的所有元素均为零，则D=0。六、若行列式D中有两行（列）相同，则D=0。七、如果行列式D中某行（列）的所有元素是两个数的和，那么D可表示成两个新行列式之和。八、行列始中某

2、一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。九、如果行列式D的某两行（列）对应元素成比例，则D=0。十、把行列式中某一行（列）的各元素乘以常数k后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式保持不变。十一、代数余子式：在一个n阶行列式D中,把元素aij(i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下的(n-1)^2个元素按照原来的次序组成的一个n-1阶行列式Mij,称为元素aij的余子式，Mij带上符号(-1)^(i+j)称为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j)Mij。十二、一个n阶行列式D，如果

3、其中第i行（或第i列）所有元素除了aij外都为零，则这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积。十三、行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。十四、克莱姆法则：1：克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;2：应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:（1）：当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；（2）：如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零；3：克莱姆法则的局限性：（1）：当方程组的

4、方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失效。（2）：运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。十五、如果齐次方程组有非零解，则齐次线性方程组的系数行列式D=0.第二章n维向量一、由n个数a,a,...,a组成的n元有序数组（a,a,...,a）称为n维向量，其中a（1，12n12ni2，...，n）称为n维向量（a,a,...,a）的第i个分量（或坐标），分量是实数的向量，称12n为实向量，分量是复数的向量，称为复向量。通常，定义中n维向量（a,a,...,a）用表

5、示时，记作12n=（a,a,...,a）12n有时，向量也可以写成一列：a1a2=an称为列向量。二、把分量全是零的向量，称为零向量，记作0，即0=（0，0，...，0）把向量（-a,-a,...,-a）称为向量=（a,a,...,a）的负向量，记作-，即12n12n-=（-a,-a,...,-a）12n三、设向量=（a,a,...,a）和向量(b,b,...,b)，如果它们对应的分量均相等，即12n12nab（i=1，2，...，n），ii则称这两个向量相等

6、，记作=β。n维向量之间的基本关系是以向量的加法和数量乘法来表示的。四、设向量=（a,a,...,a）和向量(b,b,...,b)，则向量(ab,ab,...,ab)12n12n1122nn称为向量和β的和，记作+β，即+β=(ab,ab,...,ab)1122nn由此可以推出如下运算定律：（1）交换律+β=β+（2）结合律()()（3）0（4）（-）0利用负向量定义，我们可以定义向量的减法：-（-）（ab,ab,...,ab)1122

7、nn五、设向量=（a,a,...,a），R，则向量（a,a,...,a）称为数与向量的12n12n数量乘积，简称数乘，记作，即=（a,a,...,a）12n由定义立即推出如下运算规律：（1）1（2）()()（3）()（4）()由数乘定义及运算规律，得若0，则0或0六、设,,,...,都是n维向量，如果存在一组数,,...,，使得12m12m...，1122mm那么向量称为,,.

8、..,的线性组合。或者说，可由,,...,线性表示。12m12m七、设有n维向量组,,...,12m如果存在不全为零的数k,k,...,k，使得12mkk...k01122mm成立，则称向量组,,...,线性相关；如果上式仅当kk...k0时才成立，则12m1